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(1)
1番の人が1周目に赤玉を引く確率は1 - β
2周目に引く確率は、1周目で1番と2番二人ともが白玉を引き、その後1番の人が赤玉を引くことになるので、(1 - β)β^2
3周目は…とやっていくと求める確率p^2_1は、初項1 - β、公比β^2の無限等比級数になる。したがって、(1 - β) / (1 - β^2) = 1 / (1 + β)
(2)
(1)と同じように考えると、n人いてk番目の人が赤玉を引く確率は、初項(1 - β)β^(k-1)、公比β^nの無限等比級数になる。
よってp^n_k = (1 - β)β^(k - 1) / (1 - β^n)
求める確率の比はp^n_(k + 1) / p^n_k = β
(3)
(2)で求めたp^n_kに対してn→∞として、q_k = (1 - β)β^(k - 1)
E = Σ kq_k （Σはkに関して1から∞までの和）
= Σ k(1 - β)β^(k - 1)
= (1 - β)(1 + 2β + 3β^2 + 4β^3 + …)
ここで、
1 + 2β + 3β^2 + 4β^3 + …
= d/dβ (β + β^2 + β^3 + β^4 + …)
= d/dβ β / (1 - β)
= 1 / (1 - β)^2
したがって
E = (1 - β)×1 / (1 - β)^2
= 1 / (1 - β)
= 1 + b / a
a ≧ bのもとでEを最大化するには、a = b
したがって、a = b = 1010
(3)の途中の計算は数学的にあまり正しくないかもしれないので、あまり参考にしないほうがいいかもしれません。
参考になりました！ありがとうございます。