(2)は一般解から攻めるのではなく, 視点を変えて2x+3yの意味を考えた方が分かりやすいです.
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x, yは正の整数[1以上の整数]なので, 少なくとも2x+3y≧2*1+3*1=5
したがってn=1, 2, 3, 4にはなりえない[まずは下限を探ります].
n=6のとき, 2x+3y=6⇔y=(6-2x)/3
yが正となるためにはx=1, 2が必要だが, いずれも整数ではないので不適.
2x+3yのyを1に固定しx=1, 2, 3…とすれば3以上の奇数をすべて表現できる.
2x+3yのyを2に固定しx=1, 2, 3…とすれば8以上の偶数をすべて表現できる.
[7以上の整数がすべてOKであることを構成します. 2xのxを一つ増やすと全体で2増えることを利用します.]
以上からn=1, 2, 3, 4, 7
一般解の求め方が正しいか判断できないので下の解答と比較してください.
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(1)
[解1] 偶数であることに注意する
2x+3y=100⇔2(x+y)+y=2*50
なのでyは少なくとも偶数である必要がある.
自然数ℓをとってy=2ℓとするとx=50-3ℓ
xが自然数となるためにはℓが1以上16以下の自然数であれば十分.
以上から16個.
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[解2] 一般解を求めて絞る. 本問では遠回りだと思います.
2x+3y=100の解の一つはx=20, y=20であるから
2(x-20)+3(y-20)=100⇔2(x-20)=-3(y-20)
2と3は互いに素なので整数ℓをとってx=20-3ℓ, y=2ℓ+20.
x, yが共に正の整数となるためにはx=20-3ℓ≧1かつy=2ℓ+20≧1が必要.
ℓが整数であることに注意すると-9≦ℓ≦6であればよい.
以上から6-(-9)+1=16個
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(2) 一般解からだと区間幅を手掛かりに解きます.
2x+3y=nの解の一つはx=2n, y=-nである. したがって
2(x-2n)+3(y+n)=0⇔2(x-2n)=-3(y+n)
2と3は互いに素なので整数ℓをとって
x=2n-3ℓ, y=2ℓ-n
x, yは自然数だからx=2n-3ℓ≧1, y=2ℓ-n≧1が必要.
これから(n+1)/2≦ℓ≦(2n-1)/3を得る.
nが4以下の時, ℓの区間幅(2n-1)/3-(n+1)/2=(n-5)/6が負になるのでℓは存在しえない.
nが11以上の時, ℓの区間幅は1以上なので区間内に必ず整数ℓが存在する[鳩の巣原理的な考え方].
残りはn=5, 6, 7, 8, 9, 10について個別に調べていけばいいです.
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自分の解法を否定されたような感じがして不服に思ったかもしれません.
しかし解答を見比べると, 最初の文言が分かっていただけたのではないかと思います.
[訂正]
2x+3yのyを1に固定しx=1, 2, 3…とすれば5以上の奇数をすべて表現できる.
最後は答えと同じくn=1,2,3,4,6です.