Question

ゲスト

（2）を教えてください

1 . 2次方程式*7+んx+4=0 (をは定数) ……①にっいて
(1)①が異なる 2 つの実数解をもつとき, 定数んの値の範囲を求めよ。
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1=  (2)①の 1 つの解が1であるとき, 残りの解を求めよ。

Answer 1

LUX SIT

解答を見ると"なんとなく"解いているような印象を受けます.
基本から説明しようと思います.
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2次方程式ax^2+bx+c=0[a≠0]の解は平方完成して
a(x+b/2a)^2+c-(b^2/4a)=0
⇔(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(2a)^2
⇔x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
となります. これが解の公式でした.
解の公式の平方根部分±√(b^2-4ac)}に注目します.
b^2-4ac>0ならばxは2つの実数値をとります. つまり実数解を2個持ちます.
b^2-4ac=0ならばxは1つの実数値をとります. つまり実数解を1個持ちます.
b^2-4ac<0ならばxは2つの複素数(虚数)値をとります.　つまり実数解はありません.
このことからD=b^2-4acを判別式としたのですね.
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(1) 条件を満たすためには判別式D=k^2-4*4>0
⇔(k-4)(k+4)>0
⇔k<-4, 4<kでなくてはならない.
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(2)まずは素朴に解いてみます.
①の1つの解が1なので1^2+k*1+4=0⇔k=-5である必要がある.
x^2-5x+4=0⇔(x-4)(x-1)=0⇔x=1, 4なので残りの解は4である.
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2次方程式ax^2+bx+c=0[a≠0]の解をα, β[α=βを許します. また複素数でもOK]とすると
a(x-α)(x-β)=0と書き換えることが出来ます.
展開するとax^2-a(α+β)x+aαβ=0で係数比較をすると
b=-a(α+β), c=aαβ⇔α+β=-b/a, αβ=c/a
という関係を得ます. これが解と係数の関係です.
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(2)　残りの解をαとすると, 解と係数の関係から
α+1=-k, α=4⇔k=-5, α=4
ここでkはk<-4, 4<kを満たすので①は確かに2つの実数解を持つ[確認しておきます].
また残りの解は4である.
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公式は覚えるものではなく, どういうものかをよく理解するようにしましょう.
意味が分かれば, 形を忘れても自分で導けるようになります.