「隣り合う2枚のカードに書かれた数の和が、全て5以上である」を言い換えると、「隣り合う2枚のカードに書かれた数の和が、4以下になって欲しくない」というようになると思います。なので、和が4以下になる並び方を避ける並べ方を探していきます。
「4」「5」のカードは、どのカードが隣に来ても和が4以上になるので、まずは、「1」「2」「3」の3枚のそれぞれの並べ方で考えます。
3以下のカードの並べ方は、3！＝6 通りあるので、画像のようになります。
この時、「1」のカードが両端のどちらかにある並べ方と、真ん中にある並べ方の2パターンに分けます。
① 「1」のカードが両端のどちらかにある並べ方
例えば、「1」「2」「3」のように並べてあるとすると、隣り合う2枚のカードの数の和が4以下になっているのは、「1」「2」の組み合わせです。このままでは条件に当てはまらないので、この間に「4」か「5」のカードのどちらかを入れなければいけません。そして、残ったカードは、5ヶ所に入れることができます。
この時、赤矢印の場所に書いたように、先に「4」のカードを置いたときと、先に「5」のカードを置いたときに対して、オレンジ矢印・黄緑矢印は、それぞれ同じ並べ方になってしまうので、重複して数える部分を引かなければなりません。
よって、「1」「2」「3」の並べ方の場合、「4」「5」のカードの置き方は、2×5-2＝8 通りとなり、「1」のカードが両端のどちらかにある3枚のカードの並べ方は全部で4通りあるので、4×8＝32 通りになります。
②「1」のカードが真ん中にある並べ方
例えば、「2」「1」「3」のように並べてあるとすると、隣り合う2枚のカードの数の和が4以下になっているのは、「2」「1」、「1」「3」の組み合わせです。このままでは条件に当てはまらないので、両方の場所にそれぞれカードを入れなければいけません。「4」「5」のカードの置き方は、2！＝2 通りになり、「1」のカードが真ん中にある3枚のカードの並べ方は全部で2通りあるので、2×2＝32 通りになります。
①＋②より、32＋4＝36 通りになります。
