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(1)
二次不等式のx²の係数は正なので、上に開いている(下に凸)グラフになります。
「全ての実数x」について成り立たなければならないので、グラフの最小値(放物線の凸の部分)が正であればいいんです。
このためには、y＝x²+(k+3)x-k とおいたとき、このグラフがx軸と交わってはいけないんです。xがどんな値ととってもyの値が正にならなければらないんですから。
なので、判別式<0をとってkの範囲を求めます。
(2)
不等式のx²の係数が、正か負か0かわかりませんので、場合分けから始めます。
a=0やa>0のときにはすべての実数(任意の実数と書いてありますが、全ての実数と思って差し支えありません)xにおいて、不等式≦0が成り立つことはありません。
a<0のとき、グラフは下に開いた(上に凸)のグラフになりますから、y=ax²-2√3x+a+2 とおいたときにグラフはx軸に接するか、x軸と交わらなければいいんです。
だから、判別式≦0 としているのです。
理解しました！(*´∀人)ありがとうございます♪