条件からf(-1)=7⇔(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+2=7⇔b=a-6を得ます.
また極小値をとるxの値をpとすると, f'(x)=3x^2+2ax+(a-6)=3(x-(-1))(x-p)と書けます.
係数を比較するとx^1: 2a=3(1-p), x^0: a-6=-3p⇔a=6-3pでpについて解けば
2(6-3p)=3(1-p)⇔3p=9⇔p=3, このときa=6-3*3=-3, b=(-3)-6=-9とそれぞれ求まります.
極小値はf(-3)=(-3)^3+a(-3)^2+b(-3)+2=3(3a-b)-25=-25です.
１行目のb＝a-6はどこからきたんですか？
x=-1が極大値7をとる, というのはx=-1のとき極大値をとり, かつf(-1)=7であるということです.
後者の条件を使っています[x=-1を代入した].
[訂正]
極小値はf(3)=3^3+a*3^2+b*3+2=3(3a+b)+29=-54+29=-25です.