Question

なっちゃん

数IAの集合と命題の範囲の入試問題です。この回答でも良いでしょうか？

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数ia 集合と命題 入試問題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

任意の整数m, nを用いてx=9m, y=15nと表せ, このときx+y=3(3m+5n)となる[ここまではOKです].
[3m+5nが実際に整数全体を表せていることを説明する必要があります.]
n=0のとき, 3m+5n=3mは3で割り切れる整数全体を表せる.
n=1のとき, 3m+5n=3(m+1)+2は3で割って2余る整数全体を表せる.
n=2のとき, 3m+5n=3(m+3)+1は3で割って1余る整数全体を表せる.
整数は3で割った余りは0, 1, 2のいずれかであるから, 3m+5nは整数全体を表している.
以上からx+yは3で割り切れる整数全体, すなわちCは3で割り切れる整数全体の集合と一致する.

LUX SIT

[補足]
ひどい勘違いをしている人がいるので付け加えておきます.　
上の証明は帰納法ではなく, 整数全体を"構成している"ことに注意しましょう.
整数m, nは無数にありますが, たとえば3m+6n=3(m+2n)は偶数しか表せません.
したがって3と5が互いに素であることを述べていないと論理的欠陥が生まれます.
①3と5は互いに素なので3m+5n=1となる整数解(m, n)が存在する.
②実際に3m+5n≡0, 1, 2　(mod 3)となる解を探す. 3を法とした剰余類で考えている.
あとは上を読めば分かるでしょう.

LUX SIT

[補足の訂正]
たとえば2m+4n=2(m+2n)は偶数しか表せません
に修正してください.

Answer 2

まぁる@math&English

いいですが、下から2行目に「m.nは整数であるので」と付けれると尚良いです。
帰納法ではないので下手にmnに値を入れる必要はありません。だって整数は無限にありますもんね。