Question

ゴン太

⑴から⑶すべてわかりません。お願いします。

1    間
数列 ogjJが mニ1, gzニュ, 3ニ と

1         1
関係式 grs ニュCmrz ma 9m (CO日虹2地はEE) を満たすとき, 次の問いに答えよ.

(①) po。。>+ amュ gaデニ pos填9G2 og」がつねに成り立つような定数pg を求めよ』

(2) Q) で求めたに対して, うq。i+ ca をれの式で表せ.

(3) ag.をヵの式で表せ.

漸化式 数b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

漸化式が帰納的に定義された関係式であることを分かっていないと解けません.
(1)が解けないと, それ以降も解けない仕組みになっているので分からないのは当然でしょう.
***
(1)条件からすべての自然数nに対して
pa[n+3]+qa[n+2]+a[n+1]=pa[n+2]+qa[n+1]+a[n]
が成り立っている. 数列{a[n]}の漸化式から
p{(1/3)a[n+2]+(5/9)a[n+1]+(1/9)a[b]}+qa[n+2]+a[n+1]=pa[n+2]+qa[n+1]+a[n]
⇔{(p/3)+q-p}a[n+2]+{(5p/9)+1-q}a[n+1]+{(p/9)-1}a[n]=0
で, p=9, q=6のとき, a[n], a[n+1], a[n+2]に関わらず恒等的に等式は成り立つ.
このような表示は一意だからp=9, q=6と決まった.
***
(2) (1)から9a[n+2]+6a[n+1]+a[n]=9a[3]+6a[2]+a[1]=4がいえる.
これは3(3a[n+2]+a[n+1])+(3[n+1]+a[n])=4と変形されて, b[n]=(q/2)a[n+1]+a[n]と置けば
b[1]=3a[2]+a[1]=2, 3b[n+1]+b[n]=4⇔(b[n+1]-1)=-(1/3)(b[n]-1)となる.
数列{b[n]-1}は初項2, 公比-1/3の等比数列をなすから
b[n]-1=(-1/3)^(n-1)(b[1]-1)⇔b[n]=1+(-1/3)^(n-1)でこれはn=1の時も成り立つ.
すなわち(q/2)a[n+1]+a[n]=1+(-1/3)^(n-1)=1-3(-1/3)^nである.
***
(3)(2)から-(-3)a[n+1]+a[n]=1-3(-1/3)^n⇔(-3)^(n+1)a[n+1]-(-3)^na[n]=3-(-3)^n
c[n]=(-3)^n*a[n]と置き換えると, 数列{c[n]}はc[1]=-3, c[n+1]-c[n]=3-(-3)^nの階差数列である.
したがってc[n]=c[1]+Σ[i=1->n-1] 3-(-3)^i
=(-3)+3(n-1)+{(-3)(1-(-3)^(n-1)/(1-(-3))}
=3n+{((-3)^n-21)/4}で, これはn=1の時も満たしている.
以上からa[n]=c[n]/(-3)^n=1/4+[{(3n-(21/4))}(-3)^(-n)]と一般項は求まった.
***
最後は非常に複雑な結果になりましたが, n=1, 2, 3の場合で検算すると確かに合っていることが分かります.
こういった見直しを実際の試験でも必ずやりましょう.

ゴン太

丁寧な説明ありがとうございます！
とても分かり易かったです！

LUX SIT

[訂正]
タイムラインにメッセージが残っていたので読みましたが,
数列{b[n]-1}の初項はb[1]-1=2-1=1です[typoです].
その後の計算をフォローすれば分かってもらえたと思いますが, 念のため.

ゴン太

わざわざありがとうございます‼︎