この問題の（1）教えてください！
特にpの3乗がqの倍数となるのが、pとqは互いに素だから、の所がよくわかりません。
✨ ベストアンサー ✨
pとqは互いに素なのでお互い1以外の公約数を持ちませんね。
２枚目の写真で左辺はp^3しかありませんから、等号が成り立つにはp^3にqの倍数が含まれている必要があります。
ところがp^3は1×p^3とかp×p×pとかp^2×pとか、因数の掛け算で表す場合、とにかくpと1とでしか表現できません。なのでp^3がqの倍数でないと等号が成り立ちませんが、pとqが互いに素なのでp^3がqの倍数になるためにはqは1か-1にしかなれないということですね。
少しでも分からないところありましたらどうぞ。
最初に互いに素な整数を置くのはなぜですか？
問題は「αが整数であることを示せ」ですよね？
「整数である」
言葉だけなら馴染みある言葉ですが、数学の整数問題では次のように変換して考えるのがお勧めです。
「有理数のうち、分母が最後まで約分できて1か-1になる、または最初から分母が1か-1の数である」
問題設定でαは有理数と言われているので既約分数(可能な限り約分された分数)の形に取り敢えず置きます。ここで約分可能な状態の分数で置いても約分すれば結局は既約分数になるので最初からp/qを既約分数だとして進めているわけですね。これがpとqが互いに素だとしている部分です。公約数が1以外ないので約分できませんから。
そして目標が「整数である」ことを示すわけですが先程のように言い換えてみましょう。
「有理数のうち、分母が最後まで約分できて1か-1になる、または最初から分母が1か-1の数である」ことを示す。
さて、既に互いに素で置いてますので、もう後半の「最初から分母が1か-1の数である」これを目指すしか選択肢がないわけですね。
なので解答のように分母を払い、倍数に着目して互いに素を最大限に利用して範囲を限定しているわけですね。p^3がqの倍数だったらもう1か-1しかないぞと。
他にも気になることがあればいつでもどうぞ。
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理解できました！
とてもわかりやすい説明ありがとうございます！