存在すると仮定して良いなら
a=2√a (a>0)という方程式を解いてやると
a=4 となり数列a[n]の極限値は4となります。
一般に数列が収束するなら最後の方はほとんど
変わらない，つまりnが十分に大きいと，
a[n]≒a[n+1]
が成立するので漸化式のそれぞれをaと置いた方程式を解けばよいです。😀
ちなみにですが，｢収束する｣の意味はご存知でしょうか？
例えば a[n]=1/n という数列を考えたとき，
値は 1/1 → 1/2 → 1/3 → 1/4 → ･･･
と言うふうにどんどん小さくなっていき、nが大きくなればなるほど限りなく0に近づいていきます。
このようなとき数列a[n]は収束するといい，その極限値は0であると言えます。
今回の問題も同じで数列が収束し極限値αをもつなら、nを大きくすればするほどa[n]はαに近づいていきます。つまりnがめちゃくちゃ大きいとき，
a[n]≒a[n+1]≒α
が成立し，更にnを無限大(n→∞)に大きくすると実質
a[n]=a[n+1]=α
が成立することになるので，
a[n+1]=2√a[n]
は
α=2√α ･･･(☆)
というように書き換えることができます。
あとは(☆)の方程式を解いてやれば
α=4 が出てくるのでそれが極限値となります。
こんな感じでどうでしょうか？
私の頭じゃ理解が・・・💦
もう少し教えていただけると助かるのですが・・・