Question

ゲスト

積分考えてみたのですができませんでした、、どなたか教えて下さい🙇‍♀️🙇‍♀️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

まず置換積分と部分積分を混同しているのではないか, と思います.
教科書風の表記にしたがうと, 置換積分では
1/cos^2x=d(tanx)/dx=(tanx)'なので
I[n]+I[n+2]=∫[0->π/4](tanx)^n d(tanx)/dx dx
=1/(n+1)[(tanx)^(n+1)]|[0->π/4]
=1/(n+1)
と計算できるわけです.
***
部分積分だと
I[n]+I[n+2]=∫(tanx)^n(tanx)'dx
=[(tanx)^(n+1)]|[0->π/4]-∫[0->π/4]-n∫({tanx)^(n-1)(tanx)'}tan(x)dx
=1-n∫(tanx)^n(tanx)'dx [これは元の積分です]
=1-n{I[n]+I[n+2]}
⇔(n+1){I[n]+I[n+2]}=1
⇔I[n]+I[n+2]=1/(n+1)
と計算できます.

LUX SIT

[訂正]
=[(tanx)^(n+1)]|[0->π/4]-∫[0->π/4]n({tanx)^(n-1)(tanx)'}tan(x)dx
***
置換積分は逆算[これは合成関数の微分]することでミスを防げます.
(tanx)^(n+1)/(n+1)をxで微分すると{(n+1)/(n+1)}(tanx)^n d(tanx)/dx

ゲスト

なるほど、、、！ご丁寧にありがとうございました😂理解できました！！