Question

徹底

x=2/√7-√3の時、
x-1/x
x^2+1/x^2
x^3-1/x^3
が分かりません…
有理化するのは分かるんですが、もっと効率的にできると言われたので、誰か解説お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

有理化すると
x=2/(√7-√3)=2(√7+√3)/(7-3)=(√7+√3)/2
1/x=(√7-√3)/2
でx+(1/x)=√7, x-(1/x)=√3になることが分かります.
これを使うと
x^2+(1/x)^2=(x+(1/x))^2-2=7-2=5
x^3-(1/x)^3=(x-(1/x))(x^2+1+(1/x)^2)
=(x-(1/x)){(x+(1/x))^2-1}
=√3(7-1)=6√3
と計算できます.
***
ポイントは
xと1/xの関係が(√a+√b)/c, (√a-√b)/cのような関係になるので和と差をとる
x+(1/x)とx-(1/x)を使ってx^n±(1/x)^nを表すことが出来る[対称式の性質で詳しくは高校で学びます].
展開公式(因数分解)から具体的に式を作ってみる.
ことです.

LUX SIT

[追加]
x^3-(1/x)^3=(x-(1/x))(x^2+1+(1/x)^2)
はx^2+(1/x)^2を上で計算しているので代入した方が早いです.
***
有理化をしないで効率的に解ける方法があると言われたのでしょうか?

徹底

いえ、有理化をしてやるのですが、対称式を使えと言われました。
一応習ってはいるのですが、詳しくわからなかったので、質問しました。
分かり易い解説ありがとうございます！
解決できました！