Question

(*´ο`*)

傾きが1になるところまではわかったのですがその後の接線の方程式の求め方からわかりません。
わかる方教えてください。

-二

曲線 ゥ=ッッーァ2十3 上の点 1, 3) に
の面積$ を求めよ。

 

おける接線と曲線で囲まれたB

 

 

 

 

ン
レク

Answer 1

LUX SIT

曲線上の点(1, 3)における接線の傾きは導関数から3x^2-2x=3*1^2-2*1=1
傾きが1で点(1, 3)を通る直線の方程式はy-3=1(x-1)[平行移動の意味を思い出す]⇔y=x+2
曲線と接線の交点のx座標を求める方程式はx^3-x^2+3=x+2⇔x^3-x^2-x+1=0である.
これを解くと(x-1)^2(x+1)=0[接点のx座標がx=1であることに注意]⇔x=-1,1[接点は重解]
また区間(-1, 1)でx^3-x^2+3≧x+2であるから求める面積は
∫[-1, 1](x^3-x^2+3)-(x+2)dx=∫[-1, 1](x^3-x^2-x+1)dx [積分区間から偶関数と奇関数の性質が使える]
=2∫[0, 1](-x^2+1)dx=2(-1/3+1)=4/3.
あるいは
∫[-1, 1](x^3-x^2+3)-(x+2)dx=∫[-1, 1](x-1)^2(x+1)dx
=∫[-1, 1]{(x-1)^3+2(x-1)^2}dx [x+1=(x-1)+2]
=∫[-2, 0](x^3+2x^2)dx [x軸方向に平行移動させる. u=x-1と置き換えてもよい(置換積分の知識が必要)]
=-{(-2)^4}/4-2*(-2)^3/3=4/3.
として計算できます.

LUX SIT

[訂正]
また区間(-1, 1)でx^3-x^2+3>x+2であるから　[面積の意味を考えよう]

(*´ο`*)

わかりました！
ありがとうございます。