Question

Riho

(1)、(2)共に分かりません、教えてください。
お願いします！
答えは、
(1)OP/OA＝1/3(1-t)、OQ/OB＝1/3t
(2)S＝1/9t(1-t) です。

上心を G として, 辺OA 上に点P,辺OB上に点Q を, P,G,Q が一直線上にあるようにとる.

 

三角形OAB の
このとき次の間いに答えよ.

  

() 重いG が線分 PQ をた(1一 の比に内分するとき, で および証 を/ を用いて表せ

 

三角形0AB の面積が1のとき, 三角形OPQ の面積さを / を用いて表し, 不等式全ミ9 が成り立つことを

示せ.

ベクトル

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

(1)はベクトルで解くのが分かりやすいでしょう. 一方, (2)は初等幾何的に解くと楽です.
このように, どの解法が近道かを考えてみることも大事です.
***
(1)点Gは△OABの重心なのでOG=(1/3)OA+(1/3)OB [見やすさのためにベクトルの矢印は省略します.]と表せる.
一方, 点Gは線分PQをt:(1-t)に内分した点なのでOG=(1-t)OP+tOQ
ここでベクトルOAとOBは一次独立であり, また点O, P, A, また点O, Q, Bはこの順に一直線上にあるから[共線条件]
(1/3)OA=(1-t)OP, (1/3)OB=tOQがいえる. 大きさをとることで|OP|/|OA|=1/{3(1-t)}, |OQ|/|OB|=1/3tを得る.
***
(2)△OABと△OPQは頂点Oを共有し, 辺OAとOP, 辺OBと辺OQに関しては(1)で述べた共線条件を満たす.
したがって面積比は△OPQ/△OAB=(OP*OQ)/(OA*OB)=1/9{t(1-t)}で与えられる.
また内分点の条件から0≦t≦1かつ0≦|OP|/|OA|=1/{3(1-t)}≦1かつ0≦|OQ|/|OB|=1/3t≦1が必要である
[点Pは辺OA上, 点Qは辺OB上にあることに注意しよう].　これを解くと1/3≦t≦2/3である.
△OAB=1なので△OPQ=1/{9t(1-t)}の1/3≦t≦2/3における範囲を調べればよい.
分母の9t(1-t)が上に凸な放物線であることに注意すると
1/{9*(1/2)*(1-1/2)}[t=1/2が頂点位置]≦△OPQ≦1/{9*(1/3)*(1-1/3)}[端点t=1/3, 2/3はt=1/2で対称です]
⇔4/9≦△OPQ≦1/2という不等式が成立することが分かる.

LUX SIT

[注]
(1)の表示や三角形の成立条件を考えると, 内分点の条件から0<t<1, とする方が自然です. 修正した方がいいです.
ただ|OA|=3(1-t)|OP|, |OB|=3t|OQ|とすれば, 潰れた三角形は線分で面積がないと考えることも出来ます
[面積に関する厳密な議論は残念ながら高校では無理です].

Riho

とても分かりやすいです。ご丁寧にありがとうございました！