Question

ゆき

数学の問題です。全くわかりません。解き方を教えてください。

本罰2 を自然数とし, パーの二が十の" とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
                                 (40)
(1) 三4. 5一8 のとき, V がある自然数の平方となるようなcの値をすべて求めよ。

(2) g 5 cがすべて奇数のとき, は平方数ではないことを証明せよ。

@) の ひめ な がすべて素数ならば. 6 の とのうち少なくとも 1 つは 3 であるこ
とを証明せよ。      *

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

整数問題ですね。

(1)
　N = 4²+8²+c² = 16+64+c² = c²+80 = m² と置く (mは自然数)
　m² - c² = 80
　(m+c)(m-c) = 80 = 2⁴ * 5

　(m+c) - (m-c) = 2c ＞ 0 なので
　　m+c > m-c であり、また m+c,m-cの偶奇は一致する。
　また m＞0,c＞0 なので m+c＞0

　よって (m+c,m-c) = (40,2),(20,4),(10,8) の3通りしかない。

　(m+c,m-c) = (40,2) のとき (m,c) = (21,19)
　(m+c,m-c) = (20,4) のとき (m,c) = (12,8)
　(m+c,m-c) = (10,8) のとき (m,c) = (9,1)

上記より c=1,8,19

としさん

(2)
　自然数nを4で割った余りで分類する。
　n=4k (kは自然数) のとき n²=16k²=4(4k²)
　n=4k+1 (kは0以上の整数) のとき n²=16k²+8k+1=4(4k²+2k)+1
　n=4k+2 (kは0以上の整数) のとき n²=16k²+16k+4=4(4k²+4k+1)
　n=4k+3 (kは0以上の整数) のとき n²=16k²+24k+9=4(4k²+6k+2)+1

　∴ nを4で割った余りが0,2のとき(つまり偶数のとき) n²を4で割った余りは0
　　　nが奇数のとき n²を4で割った余りは1 となる。

　a²+b²+c²=m² (mは自然数) が成立すると仮定すると
　a,b,cは奇数なので 左辺を4で割った余りは3 となる。
　ところが 右辺 m²を4で割った余りは 0,1 のいずれかにしかならない。
よって 仮定に矛盾が生じるので,Nは平方数にはならない。

としさん

(3)
　自然数nを3で割った余りで分類
　n=3k(kは自然数) のとき n²=9k²=3(3k²)
　n=3k+1(kは0以上の整数) のとき n²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1
　n=3k+2(kは0以上の整数) のとき n²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1

　∴ nが3の倍数のとき n²を3で割った余りは0
　　　nが3の倍数ではないとき n²を3で割った余りは1 となる。

　N=a²+b²+c²において、a,b,cが3の倍数ではないとき 素数Nが存在すると仮定する。
　a,b,cがすべて3の倍数ではないとき,右辺を3で割った余りは0となるので Nは3で割り切れる。
　3で割り切れる素数は[3]しかないので
　N=a²+b²+c²=3 となる。

　ところが、a,b,cは素数なので a≧2,b≧2,c≧2 となり a²+b²+c²≧12 となり矛盾する。

　よって a,b,cが3の倍数ではないときN=a²+b²+c²は成立しない。

　また,a=2,b=2,c=3のとき N=17となり a,b,c,N全てが素数となる。

ゆき

ご丁寧にありがとうございました😊
本当に助かりました！！