Question

たあ

記述での回答を教えていただきたいです

148 :進法と数字の並び
、 ぁる自然数を 5 進法で表すと opc。 となり, 7 進法で表すと cpg。 となった。
(1 6のCp は |アイ|o十| ウ 16十c と表すことができる。
2) 条件より 5一[エオ](2-[ カ |c) となるから. 5=[キ ] である。
(3) 条件を満たす@. 5. cの組は
明科(2 「キ |ケリ) (|[ヨ| |キ|しサ
還eだ1 |ク に| コ | とする。

n進法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

まずa, b, cは5進数abc(5), 7進数cba(7)のある桁なので,
aは1から4までの整数, bは0から4までの整数, cは1から4までの整数に限られる
[一番上の桁が0でないことに注意しよう. またp-進数の各桁に入れる数字は0からp-1までの整数で, pは繰り上がります].
元の自然数をNとすると, N=a*5^2+b*5^1+c*5^0=c*7^2+b*7^1+a*7^0と書くことが出来る[定義にしたがった書き方をしました].
後者の式から, b=12(a-2c)を得る. a-2cが0以外の整数ならば, bは0から4までの整数になりえない[背理法的な考え方].
したがってa=2c, b=0である必要がある.　aは1から4までの整数だから,(a, b, c)=(2, 0, 1), (4, 0, 2)が条件を満たす.
***
[検算] 201(5)=51, 102(7)=51, 402(5)=102, 204(7)=102でOKです.

たあ

背理法的な考え方でb＝0になる理由がわからなかったので教えて貰えませんか？他のところは理解出来ました。

LUX SIT

分かりにくければ下のように考えてもいいでしょう.
b=12(a-2c)⇔b/12=a-2c
ここでa, cは整数だからa-2cも整数であるといえます. また等式からb/12も整数です.
bは0から4までの整数でなので, b/12が整数となるのはb=0に絞られます.
***
上の回答は積を考えて矛盾を導いています.
a-2cは整数で1以上, -1以下の整数だと仮定すればbは12以上, -12以上の整数になることが分かります.
ところがbは０から4までの整数なので矛盾します.　b=0のときはa-2c=0⇔a=2cとなる整数a, cがとれれば問題ありません.
この証明の考え方は有用なのでしっかり理解するようにしましょう.

LUX SIT

[追加]　シンプルなのは下の解答でしょうか?
b=12(a-2c). ここでa, cは整数なのでbは少なくとも12の倍数であることが分かります.
bは0から4までの整数で, このうち12の倍数は0のみです. 以上からb=0と決まります.