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接点を(s,t)とおくと、その接点での接線は、
(s-1)(x-1) +(t+3)(y+3)＝10①となる。
これが(3,1)を通るから、
2(s-1)+4(t+3)＝10
∴s-1＝5-2(t +3)②
ここで、接点(s,t)は(s-1)²+(t +3)²＝10を満たすから
{5-2(t +3)}²+(t +3)²＝0
あとはこれからtを求めて、②に代入してsを求めて、最後に①に代入して終わりです。
また、他の解法としては
(3,1)を通る直線はy＝ a(x-3)+1(aは実数)またはx＝3と表せる。
(ここで、x、y軸と円と(3,1)の円を図で書いておく)
図より、x＝3が円の接線でないことは明らか。
よって接線はy＝ a(x-3)+1-①とおける。
ここで、円の中心(1,-3)と①との距離は√10であるから、
|-2a +3+1|/√( a²+1)＝√10
あとは頑張ってこれを解いて aの値を出して①に代入すれば出ます。
ちなみにですが、(3,1)が接点であるかのように
(3-1)(x-1)+(1+3)(y +3)＝10として描ける直線は、上で求めた2つの接点を通る直線になっています。図で確認して、ぜひなぜそうなるのかも考えてみてください。
