✨ ベストアンサー ✨
1の3乗根, これは3乗して1になる複素数のことです. 根というのは方程式の解の別表現です.
これが分かっていないとまったく手が出ないでしょう.
***
(1)
複素数zの3次方程式z^3=1の解が1の3乗根である. これを解いて
z^3-1=0⇔(z-1)(z^2+z+1)=0⇔z=1, (-1±√3i)/2.
***
(2)(ア)
[解1] 直接計算する.
ω=(-1+√3i)/2ならばω^2=(-1-√3i)/2, ω=(-1-√3i)/2ならばω^2=(-1+√3i)/2
となるので, いずれにせよω^2が1の3乗根であることがいえる.
[解2] 方程式の解としてみる
ωは3次方程式z^3=1の解だから, ω^3=1である.
一方, (ω^2)^3=(ω^3)^2=1^2=1が成り立つ. したがって[z=]ω^2も1の3乗根であるといえる.
***
(2)(イ)
ωは虚数なのでω^3=1⇔(ω-1)(ω^2+ω+1)=0⇔ω^2+ω+1=0が成り立ちます[虚数ならばω+1=0を満たせません].
ω^7+ω^8=(ω^3)^2(ω+ω^2)=1^2*(-1)=-1 [ω^3=1, ω^2+ω+1=0⇔ω+ω^2=-1を利用します]
(1/ω)+(1/ω^2)+1=(ω^2/ω^3)+(ω/ω^3)+1=ω^2+ω+1=0 [分母をω^3にすれば簡単にしやすいです]
最後はω^2=-ω-1を利用してωの1次式へ落とします.
(ω+2ω^2)^2+(2ω+ω^2)^2={ω+2(-ω-1)}^2+{2ω+(-ω-1)}^2=(-ω-2)^2+(ω-1)^2
=2ω^2+2ω+5=2(-ω-1)+2ω+5=3
ありがとうございます！
もし数IIIの複素数の単元の問題でしたら, 次のように解いてもいいでしょう.
***
(1) 方程式z^3=1の大きさをとると|z|^3=1⇔|z|=1 [これは実数です]
したがって0≦θ<2πとなるθをとってz=cosθ+isinθと書ける.
このときz^3=cos3θ+isin3θ=1⇔cos3θ=1, sin3θ=0⇔θ=0, 2π/3, 4π/3.
つまりz=1, (-1±√3i)/2が求める解である.
***
(2)ω=cos(2π/3)+isin(2π/3)ならばω^2=cos(4π/3)+isin(4π/3)
ω=cos(4π/3)+isin(4π/3)ならばω^2=cos(8π/3)+isin(8π/3)=cos(2π/3)+isin(2π/3)
なのでω^2も1の3乗根であることがいえる.
詳しくありがとうございます！
私は数Ⅱまでなんですけど、難しそーな考えですね！
[訂正]
[虚数ならばω-1=0を満たせません]