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演習 例題123 合同式を利用した証明(1)
a, bは3で割り切れない整数とする。このとき, a'+a°b°+b° は3で割り切れぞ
OO000
ケ S
000 ,00) 冷:
1倉敷芸料大
ことを証明せよ。
大
指針> 基本例題117, 118 で似た問題を扱ったが, ここでは 合同式を利用して 証明してみよう
aが3で割り切れない整数とは, aを3で割った余りは1または2ということである(b日
p.492 基本事項)
ついても同じ)。 このことから,問題を合同式で表すと,次のようになる。
「a=1(mod 3)またはa=2(mod 3), 6=1 (mod 3) または b=2 (mod 3) のとき
a*+a°b°+66=0 (mod 3) であることを証明せよ。」
ふるっなお, 証明では, 解答のように表を用いると簡明である。
小さの質
決まった数の割り算や
倍数に関係する問題
合同式を利用すると簡明
boR
CHART
解答
a, bは3で割り切れない整数であるから,3を法として
[1] a=1, b==1
[3] a=2, b==1
[1]~[4] の各場合について, α*+a'6°+6* を計算すると, 次の
表のようになる。
[2] a=1, b=2 0 式が傾雑になるので、
(mod 3) は省略した。
ただし,下線のように是
に断っておくこと。
e bam) =
(bom =or
。(2=16=1 (mod 3)
[4] a=2, b==2
関 a
1=1
2=1
2=1
1=1
12.1°=1| 1°.22=1|2·1°=1|2.2°=1 =| 2=4=1(mod 3)
1=1
a'b?
64
2=1
1*=1
24=1
a*+a°6°+6
3=0
3=0
3=0
3=0
A=B(mod m),
あ C=D (mod m)
ならば
よって、いずれの場合も
S 000
SIbom) e
a+a°6°+6=0 (mod 3)
したがって,a'+a’b°+6 は3で割り切れる。
%3D%
、630009
A+C=B+D(mod m
(SEbom) ト=
000円
