原点を通る三角形の面積公式 こちらの左上の問題の(3)の解説について、この公式って証明なしで用いて大丈夫なんでしょうか？ でも普通に求めようとすると計算が厳しそうで、、何かいい解決方法があったら知りたいです。

12 第1章 式と曲線 基礎問 13 4 双曲線 (II) 双曲線 C:r-y=1 について, 次の問いに答えよ. (1)Cの焦点の座標と漸近線の方程式を求め,グラフをかけ. (2) C上の点P (p, g) における接線が 2つの漸近線と交わる点を Q, R とするとき, Q R の座標をp, gで表せ. (3)原点を0としたとき, △OQRの面積Sは,Pのとり方によらず 定であることを示せ. (i) ① と y=x との交点は px-qy=1 y=x x=y= p-q (ii) ①とy=-xとの交点は |px-qy=1 (p-g0 より) 注 より x=- y=-x 1 p+q p+g - (+40) ゆえに, QRは 第1章 接する P9)2922 (3)の結果は双曲線のもつきれいな性質の1つで、毎年どこかの大学 に出題されているといっても過言ではありません. 一般的には,次 のようになります。 双曲線=1(a>0,6>0) 上の点P (p, g)における接線と2本 の漸近線の交点を Q R とすると, △OQR の面積はPの座標によらず一 定で その値は abになる. この基礎問ができた人は,上のことを証明してみましょう。 手順はまったく 同様です.また,演習問題4にあるように, PはQR の中点になることも知ら れています。 しかしこういうことを丸覚えしても意味はありません. 誘導にしたがって 1段ずつ階段を昇っていけばよいのです。 その際, ハードルになるとすれば (3) で,「どの面積公式を使えばよいのか?」 というところでしょう。頂点の1つが 原点というところがヒントになります。 注 p-g=0, p+g=0 は,P(b,g) が漸近線上にないことからでてく る性質です. (3) S= = = = √(p-a) (p + q) + (pa) (p + q) | (カー -|-4|-1(一定) (p-q=1より) <ポイント ポイント △OAB の面積をSとすると S=1/2√OAPIOBF-(OA・OB) 特に, A (x, y), B(I'z, y/2) のとき S= 142-X2Y1 A A(x₁, y₁) B(2,y2) x 注 IIB ベク 162 参照. 解答 (1) 焦点は (±√20) 演習問題 4 漸近線は±y=0 y=-x y y=x すなわち y=±x よって, グラフは右図. (2) P(p, g) における接線は px-gy=1 ・・・・・・① 2=1 ので (1) 座標平面上の点P(x, y)とF(0, √5) との距離が,Pと直線 4 = 1/15 との距離の √5 一倍に等しいとき,Pの軌跡は双曲線に 75 2 なることを示せ. (2) (1)の双曲線上の任意の点P(p, q) における接線と, 漸近線との 交点を Q, R とするとき, Pは線分 QR の中点であることを示せ.

OKベクトルはなんでs,t,uを使って波線のように表せるのですか？あと和が1になる理由も知りたいです。

四面体 OABC を考える。 辺OAの中点をPとする。 また辺 OBを2:1に内分する点をQとして,辺OCを3:1に 内分する点を R とする。 更に三角形ABCの重心をGとする。 3点P,Q,R を通る平面と直線OGの交点をKとするとき, OK を OA, OB, OC を用いて表せ。 点は3点限々を通る平上にあるから A B +to+ucks+c+a= 22-01-20 02-OB Of And OAOQ よく樹品+ 2 KOG上にあるからO=kを広せる. よって =k( ) ・+0 54.55 =kよって認 S= 水 ++= a= 4 18 == 615 126 +9/+8= 18 (6=19 296=1 6 2900 pus

この問題の(3)が全然分かりません😭どなたか図などとともに解説していただけませんか？恐らく答えは81√7/28です。お願いします🙇‍♂️ ヘルプミー数学得意な人ー

OA=6,OB=4, AB=5 である三角形 OAB があり、 辺 AB を直径とする円をC とする. (1) 内積 OA・OB の値を求めよ. (2) C 直線 OA の交点のうちAとは異なる点をPとし, Cと直線 OB の交点のう ちBとは異なる点を Q とする. (i) O OA を用いて表せ. (直線AQ と直線 BP の交点をHとする. OH を OA, OB を用いて表せ (3) Hは(2)で定めた点とする. 点RがC上を三角形 OHR ができるように動くと き 三角形 OHR の面積の最大値を求めよ。

㈠についてです。 解答の上から１２行目のまた、のところの式の意味がわかりません。

る証明 00000 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。 OA+B+C=OHである点をとると、Hは△ABCの重心である。 (2) (1)の点日に対して、3点O,G,Hは一直線上にあり GH-20C, 解答 [ 山梨大) 基本25 基本 71 (1) 三角形の重心とは、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交 点である。 AH40, BC40, BH+0 CA+0 のとき AHABC, BHICA AHBC=0, BI-CA=0······ であるから, 内積を利用して,人 ((内積)=0] を計算により示す。 ◯は △ABCの外心であるから, 1000C| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積)を利用 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよ い。このとき, 外心Oは辺BC, CA上にはない。 ① |OH=QA+OB+OCから MAHOH-OA OB+OC ゆえに H・BC (OB+OC) (OC-OB) =|OCP-10B 同様にして B BH・CA=(OA+OC) (OA-OC) =|OA|-|OCP=0| また,① から AH=OB+OC=0, BH=OA+OC0 よって, AH = 0, BC ≠0, BH ≠0, CA≠0 であるから AHLBC, BHICA すなわち AH−BC, BHICA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 635 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 このとき, 外心は辺AB 上にある (辺 AB の中 点)。 BC=OC-OB(分割) △ABCの外心0→ OA = OB=0C (数学 A) 検討 外心, 重心, 垂心を通る 線 (この例題の直線 OGH) をオイラー線 いう。ただし、正三角 は除く。 ある。」 (2) OG= OA+OB+OC 3 1OHから OH=3OG (1)から 3 OA+OB+OC=d ゆえに GH=OH-OG=2OG よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G 練習 右の図のように, △ABCの外側に P ③ 31 AP=AB, AQ=AC, ∠PAB= ∠QAC=90° となるように, 2点P,Qをとる。 更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点Rをと ると, AR⊥BCであることを証明せよ。 B

赤線のとこでsin60になるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

30 立体の計量 四面体 OABC において,OA=OB=0C=7,AB=5,BC=7, CA=8 とする. Oから平面 ABCに下ろした垂線を OH とするとき、次 の間に答えよ. (1) ∠BACの大きさを求めよ. (2) 三角形ABCの面積Sを求めよ. (3) 線分AH, OH の長さをそれぞれ求めよ. (4) 四面体 OABCの体積 V を求めよ. 解答 (1) 三角形ABC に余弦定理を用いると, (広島工業大 ) 5 8 10√3 B 7 52+82-72_ cos BAC= 2-5-8 2 となるから ∠BAC=60° S-1AB-AC-sin60-1/3.5-8.1 60° ・8・ = 2 C

183の⑵ノートの解き方じゃダメなんですか

(3)四面体 OABC の体積を求めよ。 △計ミ [13 福井大 教育地域科学 ] 183. 〈座標空間における垂線の足の座標〉 足の座標 1/6 原点を0とする座標空間に, 3点A(1, 0, 0),B(0, 0, 2), C(-2, 1, 3) がある。 7/13X =AQ 48 12 ベクトル 必解 182. <四面体の体積とベクトルの内積〉 四面体 OABC の各辺の長さをそれぞれ 7/5 9/130 AB=√7,BC=3,CA=√5,OA=2,OB=√3OC=√7 とする。 OA=d, OB = 1, OC = とおくとき、次の問いに答えよ。 (1) 内積,c,d を求めよ。 ( (S)) (2) 三角形 OAB を含む平面をαとし, 点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点を Hとする。このとき, OH をà, 方で表せ。 X ゆえに、四面体 OABCの体積は 1/2×△OAB×ICH|= 指針 183 〈座標空間における垂線の足の座標> (1) ∠B が鈍角ならば cos ∠B <0 (2)Hは直線BC上 OH = OB+tBC (tは実数) と表せる AH BC0 から を求める。 (3) △OAH= 2 OAMOHF-(OA・OH) (1) BẢ=(1−0, 0–0, 0−2)=(1, 0, −2), BC=(-2-0,1-0, 3-2) = (-2, 1, 1), |BA|=√12+0°+(-2)^=√5, |BC|=√(-2)2+1+1=√6, BA・BC=1×(-2)+0×1+(-2)×1=-4 BA-BC 4 よって cos B= <0 |BA||BC| √30 (1)△ABCにおいて,∠Bはより大きいことを示せ (2)点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする。 点Hの座標を 求めよ。 (3)△OAHの面積を求めよ。 X ■184. 〈球に内接する四面体の体積の最大値 7/7 9114 したがって <B> (2)Hは直線BC上にあるから, OH = OB+tBC (tは実数と表 すことができる。 ◆Hは直線 BC 5 BH=1BC と表される。 [12 九州大・文系] よって OH (0, 0, 2)+t(-2, 1, 1)=(-2t, t, t+2) ...... AH-OH-OA=(-2t-1, t, t+2) ・① よってOH= したがって AH・BC=(-2t-1)×(-2)+t×1+(t+2)×1 = 6t+4 とる。 A (1)△ABC の面積を求めよ。 Q 座標空間内の球面 x2+y2+22=9上に3点A(3, 0, 0), B2, 1, 2), 1, 2, 2) を AH BC より AHBC = 0 であるから 6t+4=0 -183Rも同じだか ゆえに t= t = -2/3 (2)3点A,B,Cを通る平面に, 原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。 (3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体 PABC を考え,その体積をVとする。Vの 最大値と、 そのときの点Pの座標を求めよ。 [ 14 同志社大 ] よって,①から OF = (13一号 したがって,点の座標は (1413 - 11/3) (1)より,△ABCにおいて,<B>であるから OHの成分 一致する。 <Bから

(2)は私のやり方では求められないですか？

138 第5章 図形と計量 基礎問 82 三角形の重心 右図の平行四辺形ABCD は AB=4, BC=CA=6 をみたしている. 2つの対角線の交点をO, 辺BC, 辺 CDの中点をそれぞれ M, Nとし,AM B' M C と BD, AN と BD の交点をそれぞれ,G,F とする. (1) OB の長さを求めよ. (2) GF の長さを求めよ。 精講 (1) 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わります。 (2)Gは△ABCの重心だから, BG:GO=2:1 です。 解答 (1) Oは平行四辺形の対角線の交点だから, AC の中点 よって, 中線定理より, BA2+BC2=2(OB2+OA2) :16+36=2(OB2+9) よって, OB=√17 (2)Gは △ABC の重心, Fは ACD の重心だから 17 OG=1/2OB-3. OF-1/3OD=/3OB17L よって, GF=OG+OF= 2/17 3 ポイント ・右図において AG : GM=BG:GN 1 81 N -A EA D 演習問題 82 =CG:GL=2:1 GはABCの重心 L AN B M B2において, AGF と平行四辺形ABCD の面積比を求めよ.

かっこよんです

(Ⅱ) 数列{bm} の項のうち20 以下の偶数 を求めよ. 6 【II型数学Ⅰ,A, II, B, C 選択問題】 (配点 50点) 0 を中心とする正六角形ABCDEF において, 線分AC と線分 BF の交点を G, 辺EF を 1:4 に 内分する点をP とし, 線分 OF と線分 GP の交点 をQ とする.d=0A, OB とするとき、次 の間に答えよ. (1) OF OP を d を用いて表せ. E D 18 a 10 C であ (2) D AC たの のG A B (3) G た (4) 三角形 OAB の面積をSとするとき,三角形 CGQの面積をSを用いて表せ. (2)OG をd, (2) OG を を用いて表せ。 (3) OQd, を用いて表せ。 -9- を

大変見にくくてすみません！右側のの解説お願いします！！必要な知識や考え方を教えてほしいです🔥解説プリント見たがイマイチでした😭

7 難易度 目標解答時間 12 分 SELECT SELECT (xa)(x-3) にも ここで, 放物線y=f(x) と直線y=(x)が共有点をもつとき,その共有点の座標は2次方 程式(x)=g(x)の実数解である。このことを用いて、f(x)を変形すると 56)-9(2) x=α, B E B(2.4+2) x--0,B と表されることがわかる。 したがって (△ABCの面積) ク となる。 ( f(0-1(x)·0 放物線上の異なる3点を結んでできる三角形の面積について考える。 (1)図1のように、放物線y=x2 と直線 y=x+2 の二つの共有点を A. Bとし,その座標をそれぞれ,β(a<0<B)とする。このとき、 △OAB の面積をα β を用いて表してみよう。 直線 y=x+2と軸の交点をCとすると x+2=x2 0=X2-x-2 (△OABの面積) (△OACの面積)+(△OBCの面積)より(x+1)(2) 2--1,2 02 90 60 y=x+24 y=xl 2次関数 (△OABの面積) ア となる。 and +x B ア の解答群 at B 2+1 2,0) a 10 B x ⑩ B+α B+α (+α) 2 ここで, αイヴ β = エ (2) b,cm,nを0でない定数と、f(x)=x+bx+c, g(x)=mx+n とする。図2のように, 放物線y=f(x) と直線 y=g(x)は,異なる2 点 A, B で交わっているとし、その座標をそれぞれα,β(α <B) と する。 また、f(x) と y=g(x) のグラフ上に座標がy (a<y<日) である点をとり, それぞれ点 C, D とする。 このとき, △ABCの面積を α, B, r を用いて表してみよう。 (△ABCの面積)=(△ACDの面積)+(△BCDの面積) より (△ABCの面積) (線分CDの長さ)× となる。 1の解答群 ⑩ (+α) -a×2CD+BXZXCD (B-a) ②2/2(+α) Bα) x = α x=y x=B 図2 2 2+1-1 3 (8-2) (a,az 2 図 1 キ の解答群 (x-α)(x-B) 911-30 -(x-(x-B) ①(x-α)(x-1) ©-(x-9)(x-7) ②(x-B)(x-1) ⑤(x-8)(x-7) ク の解答群 であるから, (△OABの面積である。 3 ⑩ y=f(x)/ ② (B-) (2) B y=g(x) D (-a) (B-7)² (8) (B) (y-a) バーロード ③1/2(-)(-)(-2) ③ 1/2(-)(-) A 1 6=2,c=-3,m=1, n=1のとき,α=ケコ △ABCの面積をを用いて表すと (△ABCの面積)= シス セ である。 yがケコ <y<サ 値をとる。 B= である。 また、このとき ソ x+ タ の範囲を動くとき,△ABCの面積はr= シテ で、 (配点 <公式・解法集

㈠についてです。図の点Pはなぜ円のうえにあるといえるのですか？

AI 解答 650 41円のベクトル方程式 基本 平面上の AOAB と任意の点Pに対し, ような円か。 (1)(30A+20B-50P=5 円のベクトル方程式は 1-c=r (-a) (-6)=0 00 次のベクトル方程式は円を表す。 (2) OP (OP-AB)=OA.OB 中心C(c), 半径r P.640 基本事項 ・A(a),B(b) が直径の両端 そこで, 与えられたベクトル方程式を変形して,いずれかの形を導く。 点に関する位置ベクトルを考えるとよい。 CHART ベクトルと軌跡 始点をうまく選び 差に分割 OA=d, OB=1, OP = とする。 (1)|30A+20B-50P|=|-5(万-30+26) であるから, ベクトル方程式は 5/6-30 +26 |=5 A 点に関す クトルを考える 基本 (1)中 式ば (2) P 解 で 指 5 すなわち 万一 3a+26 a =1 <C 2+3 B よって, 辺ABを2:3に内分する 0 b 点を中心とし, 半径1の円。 4ka=ka 3a+26) 点Cは辺ABを 2:3に内分する (2) ベクトル方程式は {D-(-a)}=a よって+(-) ・p-a・1=0 (*) ゆえに (+α)(-) = 0 すなわち -(-a)) (-5)=0 よって,点0に関して点Aと対称 な点と点B を直径の両端とする円。 +α D b P AB=6-0 4x²+(a-b)x-ch =(x+a)(x-6) と同じ要領 B OA' -a とする。 点A'0 て点Aと対称 (*)から-2-15 を導いて考えるこ-545 ともできる。 2 6+α 2 練習 平面上の △ABC と任意の点Pに対し、次のベクトル方程式は円を表す。 と ③ 41 円か。 (1) |BP+CP|=|AB+AC| (2) 2PA・PB=3PA・PC