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基本
28 内心, 心の位置ベクトル
0000
(1) AB=8,BC=7, CA =5 である △ABCにおいて,内心を1とするとき
AB. AC で表せ。
((2) OAB において, OA=d, OB=1とする。
(ア) <0を2等分するベクトルは,
ることを示せ。
<(+)
(kは実数, k≠0) と表さ
(イ) OA=2,OB=3, AB=4のとき, ∠Oの二等分線と ∠Aの外角の二等分
線の交点をPとする。このとき, OP を a, b で表せ。
指針 (1) 三角形の内心は、3つの内角の二等分線の交点である。
次の「角の二等分線の定理」を利用し,まずAD を AB, AC
で表す。 右図で AD が△ABCの∠A の二等分線
⇒ BD:DC=AB: AC
次に, △ABDと∠Bの二等分線 BIに注目。
別解 ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する解法も考えられる。
まり, OA'=1, OB' = 1 となる点 A', B' をそれぞれ半直線 OA, OB 上にとっ
てひし形 ONCE を作ると、点ではの通り実上にあることに注目する。
(イ)(ア)の結果を利用して, 「OP をa, で2通りに表し, 係数比較」 の方針で
AC=OAとなる点Cをとり
点Pは∠Aの外角の二等分線上にある →
結果を使うとAP は, で表される。OP=OA+APに注目。
(1) △ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると ∠Cの二等分線と辺
BD: DC=AB:AC=8:5
ABの交点をと
AE: EB=5:7,
解答
5AB+8AC
10
よってAD=
8
15
EI: IC=-
:5
13
3
8
56
=2:3
また, BD=7.
であるから
13 13
このことを利用して
B
7 D
C
56
もよい。
AI: ID=BA:BD=8:
-=13:7
13
ゆえに
AI=
13AD=
13_5AB+8AC
20
20
13
(2)Oの二等分線と辺 AB の交点をDとすると
AD:DB=0A:OB=||:||
角の二等分線の定理
を2回用いると求め
られる。
角の二等分線の定
を利用する解法。
+8AC-1AB+AC
|6|0A+|a|OB
ゆえにOD=
lal +16
ab
a
+
a+ba
求めるベクトルは,t を t≠0 である実数としてOD と表
ab
される。
t=k とおくと, 求めるベクトルは
14+16
+
161
(kは実数, k≠0)
FOD
A
al
D
92
a+b
0
