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69. 《接線の本数》
02
解答 (アイ) 2
( 3 (キ) 1 (ク) 0
(ウ) 3 (エ) 3
| (オ) 2
(ケコ)(サシ) -3,-2 (順不同)
◇◆思考の流れ◆◇
まずC上の点(a, -3a)における接線の方程式
を求め, 通る点Aの座標を代入する。
b=アイのエの国カの異なる実数解の
面積
ると
める。
また,点Aを通るCの接線の本数は,の方程式
式
る。
個数と等しい。
y=x3xからy'=3x²-3
よって, C上の点(a,α-3a) における接線の方程式
e, 1
で
は
x
y-(a-3a)=(3a2-3)(x-a)
すなわち y=3(α-1)x2a3. ①
また, 接線 ①が点A(1, b) を通るとき
b=3(a2-1)-1-2a3
ゆえに b=243 +342-3 ②
f(a)=-2a3+3a2-3とすると
f'(a)=-6a²+6a
=-6a(a-1)
f'(α) = 0 とすると α = 0, 1
よって,f(α) の増減表は次のようになる。
a
0
...
1
-
20 +
0
f'(a)
f(a)
-3 1 -2
ゆえに,f(a) は a=1で極大になり, a=0で極小に
なる。
このとき,y=f(a) のグラフ
は、 右の図のようになり, 点A
を通るCの接線の本数が2本に
なるための条件は,y=f(a) の
グラフと直線 y= b が相異なる
2つの共有点をもつことである。
よって, グラフから
b=-3 または b=-2
◎ここを押さえる! 〇
y.
1
0
a
-2
y=b
y=b
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も
異なるから, aの3次方程式②の実数解の個数
が 点Aを通るCの接線の本数に一致する。
接線の本数
タイムリミット10分
座標平面上の曲線 y=3x をCとする。 C上の点(a-3a) における接線が点A
(1.
また,f(a)=[アイ]al
を通るとき,
ol
アイ
オ
I a
カ
[カ] が成り立つ。
とすると, 関数f(a)はa=キで極
になり,クで極小になる。
したがって, 点Aを通るCの接線の本数が2本となるのは, b= [ケコ または b=サシ
のときである。 ただし,ケコサシの解答の順序は問わない。
y=3x²-3
よって
▷ p.108
塩線の方程式は、y-103-30)=30-3)(xa)
h-a³+3a=3 (a+b)(a-1) ( ) (
=-3 (03-a-a+1)
b=-203 +30²-3 f(a)とする。
f(a)=6a²+6a
)
a²-a-atl
-bala-1)=0
azo.1
A
ウ
I
オ
アイ
-23
3
キ
カ
323
3 3
ケコ
01-3
サシ
-2
3
3
