矢印の式変形教えて欲しいです

収束条件 または 1(-1<r n=Tとする 基本 例題 35 無限等比級数の収束、発散 基本 10 (1)次の無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 (ア) √3+3+√3+...... (イ) 4-2√3+3･･････ 00 n 2 n=1 無限級数 ( 13 ) sin " の和を求めよ。 nπ 2 [(2) 愛知工大] P.64 基本事項 1 無限等比級数 α-1=a+ar+are+.･････の収束条件は a=0 または |r|<1 指針 n=1 a [1] a=0, |r| <1のとき 収束して,和は 1-r [2] α=0 のとき 収束して,和は 0 (1) 公比が |r|<1, r|≧1のどちらであるかを,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束, 発散 公比 ±1が分かれ目 65 2章 (1)(ア) √3,公比はr=√ 解答 √3 =√3 で, |r|>1であるから, 発散する。 2√3 (イ)初項は4,公比はr=- で, r<1であるから, 収束する。 4 2 52 基本例題 33 和は じ方針で考えて 1-(- 4 √3 8 8(2-√√3) (初項) -=8(2-√3) 1 (公比) 2+√3 (2+√3)(2-√3) 2 (2) 自然数とすると n=2k-1のとき nπ <ます sin がどのよう 2 4 無限級数 0なら∞に発 0なら a, Altr 1) の等比数 ■項から第五 よって、数列{(1/3) 'sing 2 は の和は 3' 33 13, 0, -1, 0, 1, 0, 4.35 nπ sin- 2 n=2kのとき nπ 2 sin =sink=0 2 ==sin(kл-77) = == -coskπ=(-1)+1 な値をとるかを nが奇 数偶数の場合に分けて 調べる。 んが整数のとき 1 (kが偶数) COS kπ= -1 (kが奇数) =(-1)^ 35 37 (数学) 80 -r NT 2 1 となる。ゆえに、 2 (1/3) s sin- は初項 13,公比無限等比数列 1/3 1 33' Iでも学んだ 32 の無限等比級数であり,公比は|r|<1であるか 1 35' の和とみる。 では無限 を利用する。 ら収束する。 その和は 1 1 3 (初項) 3 1-( 10 1- ( 公比) 32 1+4 = 3+4=00 練習 (1) 次の無限等比級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 ② 35 (ア) 1- + 1 1 3 9 (イ) 2+2√2+4+･･････ 基本事項 極限の性質 (ウ)(3+√2)+(1-2√2)+(5-3√2)+……… 8 1 (2) 無限級数 COS- の和を求めよ。 n=07 nπ 2 p.80 EX 24、 h n-2 Th

(2)解説の赤字の6<2a +5<イコール7 って書いてあるんですけどイコールがつくときとつかない時の区別ができません 教えてください

60 基本 例題 33 1次不等式の整数解 解答 HII 動画で 深める 00000 (1) 不等式 6x+8(6-x) >7 を満たす2桁の自然数xの個数を求めよ。 (2) 不等式 5(x-1) <2(2x+α) を満たすxのうちで,最大の整数が6であ るとき, 定数αの値の範囲を求めよ。 CHART & THINKING 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは, 与えられた不等式を解く。 (1) 2桁の自然数→ 10≦x<100 基本2932 これと不等式を連立して, 条件を満たす整数xの値の 範囲を 10≦x≦n の形に表す。 この不等式を満たす整数の個数は ? (2) 不等式の解は x < A の形となる。 数直線上でAの値を変化させ, x<Aを満たす最大 の整数が6となるのはAの値がどのような範囲にあるとき かを考えよう。→x=6 は x < A を満たすが, x=7 は x<A を満たさないことが条件となる。 6 A 7 x (1) 6x+8(6-x) >7から 2x>-41 ゆえにx<14/12 x=20.5 xは2桁の自然数であるから 10≦x≦20 求める自然数の個数は 2桁 ◆展開して整理。 不等号の向きが変わる。 解の吟味。 21 + 10 11 20 41 2 x 20-10+1=11 (個) (2) 5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5... ・① ①を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6<2a+5≦7 のときである。 ←展開して整理。 ←6<2a+5<7 とか 1 <2a≦2 よって 1/2kas1 <a≦1 6 2a+57 x 62a+5≦7 などとし ないように。 等号の有 無に注意する。 ①を満たす最大の整数a=1のとき,不等式は [in 6/2a+5≦7 は,次のように解くとらく。 各辺から5を引いて 1<2a≦2 各辺を正の数2で割って 1/12 <as x<7 で,条件を満たす。 a = 1/2のとき、不等式は <6で条件を満たさ ない。 PRACTICE

力学の問題です。ハイライト部分の問題ですが、自分の解き方の力学的エネルギーを使った考えのどこが間違えなのかを教えてほしいです。

入試問題を 漆原の解法で解こう 解答編 p.4~p.9 最重要 重要問題 01 糸でつながれた2物体の運動 天井 図のように、伸び縮みしない糸の一端を水 平と0の角をなすなめらかな斜面上のおもり Aと結び, その他端を定滑車P, およびおも りBがつり下がっている動滑車Qに通し, 天 井に固定した。 いま, おもりBを床からLの 高さに置き、静かに手を放したところ, おも りAは斜面に沿って上り, おもりBは落下を 始めた。 おもりAとBの質量をそれぞれ M と M2, 重力加速度の大きさをgとし,滑車 と糸の質量および滑車と糸の間の摩擦は無視 できるものとする。 M₁ A B M2 (1) おもりAの加速度の大きさは, おもりBの加速度の大きさの何倍か。 (2) 糸の張力の大きさを求めよ。 (3)おもりBの加速度の大きさを求めよ。 (4) おもりBが床に衝突するときの速さを求めよ。 (5) おもりAが斜面に沿って登り得る最大の距離を求めよ。 <東海大 〉 重要問題 02 摩擦力を介した2物体の運動 水平面に対して角0傾いた広い斜面がある。 図のように, 斜面上に質量 m1 の平板Aを置 き,さらにAの上に質量m2の小板Bを置き, 両者が動かないように支えておく。 支えを静 かにはずしたとき, 斜面の上をAが,またA の上をBが, それぞれ下方にすべり出した。 斜面とAとの間, およびAとBとの間の動摩 B A 擦係数をそれぞれ141, 12 (12μ12), 重力加速度の大きさをg とする。 (1) 斜面に平行な方向のBの加速度を求めよ。 ただし, 斜面下向きを正とする。 12 第1章 力学

この問題の（3）でマーカー引いてるところは整数なので、と書いてもいいのかと、３の倍数でないとき3l+-1ではなく+1とおいても〇なのか教えて欲しいです！！！ それと毎回書かなきゃいけないものではないのか教えて欲しいです！

332 第9章 整数の性質 練習問題 5 n, a, b を整数とする. (1) n2+nは2の倍数であることを示せ. (2)²-2は3の倍数でないことを示せ. (3)2 +62が3の倍数ならば, a,bはともに3の倍数であることを示せ. ▲照を証明するときに, 剰余で分類することが有効

書いてます

(2) 数列{6}は 61=4,6+1=|6|-3 (n=1,2,3, ...) 数学II, 数学 B 数学 C を満たすとする。 2 b2= テ b3 = トナ b₁₁ = bs= ネノ である。 数列{bm}の初項から第n項までの和を T, とすると,T,<0となる最小の自 然数nは ハムである。 ここで,積 bb2b を P とすると 4+(n-1) P2n= (n=1, 2, 3, ...) であり P2k= フ ホ (n = 1, 2, 3, ...) k=1 である。 ヒ の解答群 ⑩ 2" -2” ①2n+1 4-2"+1 ⑥ (-2)" (-2)2+1 < の解答群 ② 2+2 -2n+2 ⑧ (-2)+2 ⑩n-2 ① n-1 n ③ n+1 4 n+2

2n^3+3n^2+nは6 の倍数であるという証明問題の一部です。なぜ3k、3k+1、、のように考えるのでしょうか？教えてください

(ア)n=3k(kは整数)のとき N = 3k(3k+1)(6k+1) (イ)n=3k+1 (kは整数)のとき N=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2) (2k+1) (ウ)n=3k+2 (kは整数)のとき N=(3k+2)(3k+3)(6k+5)=3(3k+2)(k+1)(6k+5) んは整数であるから,(ア)~(ウ) のいずれの場合も Nは3 の倍数となる。 したがって, 2n+3m² +nは6の倍数である。

(4)で、なんで引き合ってるものとするんですか、？ あと、(7)でBとAが離れる条件がよくわかりません。 お願いします🙏🏻 ̖́-

58. たてばねによる単振動〉 図のように、なめらかで十分長い直線状の棒 OP を鉛直に立ててO 端を水平な床に固定した。 この棒に、同じ質量mの穴の開いた小さ い物体A,Bを通した。物体Aには、ばね定数の軽いばねをつけ、 ばねの他端は棒の端に固定した。 ばねはOP 方向のみに伸縮し、棒 と物体A,Bの間に摩擦はないものとする。さらに,物体Aのばねと は反対側に質量と厚さの無視できる接着剤で物体Bを接着した。 物体 [18 広島大 P 物体 x=0+ 接着剤 物体 ABが廻しあうときは物体とBはないが、引きあうときは引きあう力の大きさが 着剤の接着力以上になると物体AとBは離れる。重力加速度の大きさを!とする。 初めに, ばねはその自然の長さからだけ縮んで, 物体 A, B はつりあいの位置に静止し ていた。 図のように,このつりあいの位置を x=0 とし,鉛直上向きを正とするx軸をとる (1) 自然の長さからのばねの縮みを,m,k,g を用いて表せ。 まず, 接着剤の接着力が十分大きく, 物体AとBが離れない場合を考える。物体Bをつりあ いの位置から6だけ押し下げ、静かに手をはなすと, 物体AとBは一体のまま上下に振動した (2)この振動の周期を,m, k を用いて表せ。 (3) この振動をしているときの物体A, B の速さの最大値を,m, k, bを用いて表せ 物体AとBが一体のまま運動しているときの両物体の位置の座標をxとする。 また, 物体 Aが物体Bから受ける力をTとし, x軸の正の向きをTの正の向きとする。 つまりTが 正のときは物体AとBは引きあっているが,Tが負のときは押しあっていることになる。 (4)このとき, 物体Bにはたらく力を, m, g, Tを用いて表せ。 x軸の正の向きを物体Bには △ たらく力の正の向きとすること。 △ (5) 物体 A,Bの運動方程式を考えることで, Tを,m, k, g, xを用いて表せ。 .00 図 (6) Tをxの関数として, -3d≦x≦3d の範囲でグラフにかけ。 ここでは6>3d とする。 D 次に,接着剤の接着力が小さく, 物体 A, B間の引きあう力の大きさがmg以上になると, 物体AとBは離れる場合を考える。 ただし,離れる瞬間の前後で, 物体AとBの運動エネル ギーや,ばねの弾性エネルギーは変化しないものとする。 物体Bをつりあいの位置からだけ押し下げ、静かに手をはなすと, 物体Bは運動の途中 で物体Aから離れた。 x (7) 運動の途中で物体Bが物体Aから離れるためには,はある値以上でなければならな い。 by を,m,k,g を用いて表せ。 x (8) 物体Bが物体Aから離れた瞬間の物体Bの速さを,m,k,g, b を用いて表せ。 〔22 千葉大〕

なんでbだけ決まってaは任意なんですか？

6 放物線/接線 (1) 放物線y=x2の2本の接線g, hが点 (a, b)で交わるとする接線g, hが直交するための a,bの条件を求めよ. (2) (a,b)が(1)で求めた条件をみたしながら動くとき,2接線の2つの接点を結ぶ直線 は常にある定点を通ることを示せ (津田塾大国際関係) 放物線と直線が接する この条件は,放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解 をもつこととしてとらえることができる (判別式D=0). また,例えば,y=kx2とy=mx+nがx=αで接する条件は, kx²-(mx+n)=k(x-α)と表せる・ ととらえることができる (左辺 =0はx=αを重解にもち、左辺の2の係数がんであることから). 放物線上のx= α における接線 通常は微分法でとらえる. ☆を使うこともできる.☆により, y=kx2のx=αにおける接線の方程式は,y=kx-k(x-α)により,y=2kax-ko となる. 解答 (1)点 (a, b) を通る傾きの直線y=m(x-a)+bがy=x2と接する条件 は,r=m(x-a)+6 :.x-mx+(ma-b)=0 が重解をもつことで, 判別式をDとすると, D=0 D=m²-4(ma-b) が0であるから,m²-4am+46=0 の2次方程式②の実数解が,点(a, b) を通る接線の傾きを表すから, 2接線 の直交条件は、②の2解の積46が-1であること. したがって,求める条件は,b=-1/2 (αは任意) 一般に,実数係数の2次方程式 x2+c+d=0の2解α βが αβ <0 を満たすとき, 解と係数の 関係からd <0であり、判別式 D=c4d>0となるので, 2解 は異なる実数であることが保証

数学Ⅲ 微分法の問題です 解き方がわからないので教えて欲しいです🙇‍♂️

eを自然対数の底とし,f(x)=e-*sin(x)とする。 (1) 導関数f'(x) はf'(x)=√2e-cosx を満たすことを示せ。 (2) 2(k-1)<x<(2k-1)の範囲で, 関数 f(x) の増減を調べ, 極 自然数とする。 値をkを用いて表せ。 (3)自然数とする。 (2k-1)π<x<2kπの範囲で, 関数 f(x) の増減を調べ, 極値を k を用いて表せ。 (4) 自然数nに対して, (n-1)π<x<nπの範囲における関数 f(x) の極値を α とす る。無限級数の和を求めよ。 n=1

青チャート 群数列 線を引いたところがどんな考えなのかわかりませんでした。 解説をお願いしたいです。

練習 第n群がn個の数を含む群数列 29 1|2, 3|3, 4, 54, 5, 6, 7|5, 6, 7, 8, 9|6,... について (1) 第n群の総和を求めよ。ar 'arg 大学 (2) 初めて99が現れるのは,第何群の何番目か。 [類 東京薬大] △×3 (3) 最初の項から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また、 その数を求めよ。