基本例題 60 最大 最小から係数の決定 (2) OOO
a>0 とする。関数 f(x)=ax2-2ax+6 (0Sx い3) の最大値が9,最小値
が1のとき,定数 a, bの値を求めよ。
|基本 59
CHART
SOLUTION
2次関数の最大·最小
基本形 y=a(x-b)+q で考える 軸の位置が決め手
a>0 であるから, グラフは下に凸の放物線で, 軸は直線 x=1
軸から遠い定義域の端(x=3) で最大,頂点で最小。
解答
f(x)=ax°-2ax+b
軸
やまず, 平方完成し, 基本
3章
=a(x°-2x)+6
=a(x°-2x+12_12)+6
=a(x-1)?-a+6 (0<x<3)
y=f(x) のグラフは右の図のようにな
り, x=3 で最大,x=1 で最小となる。
「f(3)=3a+b=9
Lf(1)=-a+b=1
形に変形。
最大f(3)
8
f(O)
最小(1)
→頂点は点(1, -a+b),
軸(x=1) は定義域内の
左寄り。
←軸から遠い端
したがって
-頂点
これを解くと
これは, a>0 を満たす。
a=2, b=3
合aの条件の確認
INFORMATION a>0 の条件がない場合
上の例題で「a>0」という条件がない場合は, x° の係数aのとる値によって, グラフ
の形が変わってくる。 a=0(直線), a<0(上に凸の放物線)の場合も考える必要があ
る。→か.117 EX 62参照。
a=0 のとき,f(x)=D6(一定) となり条件を満たさない。
a<0 のとき, y=f(x) のグラフは右の図のようになり,
x=1 で最大, x=3 で最小となる。
[a<0]
最大(1)
f(O)
よって f(1)=-a+b=9, f(3)=3a+b=1
これを解いて a=-2, b=7
これは a<0 を満たす。
以上により,上の例題で「a>0」という条件がない場合,
答えは a=2, 6=3 または a=-2, b=7 となる。
最小(3)
軸
PRACTICE…60°
a>) とする。関数 f(x)=ax°-4ax+6 (1Sx<4) の最大値が4,最小値が-10
2次関数の最大最小と決定
