(1)についてなのですが、なぜこの時は軸の条件を考えなくて良いのでしょうか。 解が2つ決まっているからでしょうか。

票問 26 2次方程式の解の存在範囲 (1) (1) 方程式 2.r°+(a-2)r+3(a-5)=0 の2解を α, Bとするとき、 -2<a<0, 1<B<2 となるような定数aの値の範囲を求めよ。 (産能大) (2) に関する2次方程式 2?+2ax+a=0が2つの異なる実数解をもち, それらが -1 と1の間にあるようなaの値の範囲を求めよ。 1 (3) の方程式 --(a-4)r+(a°-4)=0 が異なる2つの負の解をもつ 4 ようなaの値の範囲を求めよ。 (中京大(改作)) 6S

赤印つけたとこって、α＋β≧4、αβ≧4にならないのはなぜですか？

基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲 (2) についての2次方程式xー(a-1)x+α+6=0 が次のような解をもつよ とも うな実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 p.71 基本事項 5. 基本49 (2) MOIT 1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 の発医薬 CHARTO OLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-k の符号から考える (1) 2以上と2を含むから、等号が入ることに注意する。 2018- az2, B≥2 ⇒ (a-2)+(8-2) ≥0, (a-2)(B-2)≥0 (2) <2<BまたはB<2<a (a−2)(B-2)<0 解答 | inf. 2次関数 TER x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式をD とすると f(x)=x²-(a-1)x+a+6 D={−(a−1)}²−4(a+6)=a²−6a−23 のグラフを利用すると 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) D≥0, AN (1)≧2,β≧2 であるための条件は、次の① ② ③ が同時 に成り立つことである。 (軸の位置) ≧2, f(2)≥0 D≧0 TE ・① a-1 (a-2)+(B-2)≧0 20 (a-2)(B-2)≥0 (2) ①から a²-6a-23≥0 DRPD TO**** ゆえに a≦3-4√23 +4√2 ≦a a (4) DO 2 ②から a+β-4≧0 ゆえに (a-1)-4≥0 よって a≧5 ...... (5) (2) f(2)<026 ③から aβ−2(a+β)+4≧0 (p.715 補足 参照) =560 ゆえに a+6-2(a-1)+4≥0 よって a≦12 ...... 6(E)S+x=(x)\ ④,⑤,⑥の共通範囲を求めて 3+4√2 ≦a≦12 ⑤5 (2) α<2<β または β<2<α であるための条件は 3-4√2 1 5 3+4√2 12 a (a-2)(B-2)<0 ◆このとき、D>0は成り よって α+6-2(a-1)+4<0 これを解いて (a>12 立っている。 (p.704 解説 参照) ( PRACTICE･･・･ 50 ③ 2 xの2次方程式x2-2px+p+2=0 について,次の条件を満たすよう、 の範囲を求めよ。 78 x= B (S) x C B6

解の存在範囲 なぜD＜0なのでしょうか？

140 00000 基本例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式) (1) すべての実数xについて, 不等式 x2+ax+a+3> 0 が成り立つように、 od 0 % 定数aの値の範囲を定めよ。 (2) すべての実数x に対して,不等式 kx2+k+1)x+k≦0が成り立つよ うな定数kの値の範囲を求めよ。 od p.135 基本事項2 CHARTO S OLUTION OPSARO RBTAS 定符号の2次式 常に ax2+bx+c>0⇔a> 0, D < 0 ......! k 常に ax2+bx+c≦0⇔a < 0, D≦0 (1) x2の係数は 1 > 0 → D<0であるαの条件を求める。 (2) 単に「不等式」とあるから,k=0 の場合 (2次不等式でない場合)も考える ことに注意。 k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。 XS 2** ◆下に凸の放物線が常に x軸の上側にあるため の条件と同じ(p.135 基 本事項 2 参照)。 (1) 下に凸 D<0 3 x (2) 問題文に「2次」 不等式 解答 (1) x2+ax+a+3=0 の判別式をDとする。 x2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は D<0 ここで D=α²-4・1・(a+3)=α²-4a-12=(a+2)(a-6) D<0 から 求めるαの値の範囲は -2<a<6 (2) kx²+(k+1)x+k≦0 •••••• ① とおく｡ ...... [1] k=0 のとき, ① は x≤0 これはすべての実数xに対しては成り立たない。 [2] k0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k = 0 の判別 式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立

二次方程式の解の存在範囲 f(2)＞0 f(2)＜0 (黄色の印をつけたところです) なぜ2を入れたらいいのか？ なぜ＞、＜になるのか？ 解説お願い致します🙇‍♂️

148 基本例題 95 2次方程式の解の存在範囲 (2)…との大小 [類 摂南大] NAZ 2次方程式x2−2(a-4)x+2a=0 が次の条件を満たすとき,定数aの値の POCO BO 範囲を求めよ。 VOITLUSTRAN 316 (1) ともに2より大きい異なる2つの解をもつ。 208 (2) 2より大きい解と2より小さい解をもつ CHART SOLUTION 813010 2次方程式の解とんとの大小 グラフをイメージ･･･ D, 軸と2との大小, f (2) の符号に着目 基本例題 94 は解と 0 との大小関係を考えたが,ここでは0以外の数んとの大小 関係を考える。 しかし、グラフ利用の基本方針は変わらない。 f(x)=x2-2(a-4)x+2α とすると, y=f(x)のグラフは下に凸の放物線。 (2) f(2) <0.① (1) D> 0, (軸の位置) > 2, f(2)>0 を満たすようなaの値の範囲を求める。 *<(0) [9] 0 解答 [s] [I] [8] f(x)=x2-2(a-4)x+2a とすると, y=f(x) のグラフは下 に凸の放物線で, その軸は直線x=α-4 である。 (1) 方程式f(x) = 0 がともに2より大きい異なる2つの解を もつ条件は,y=f(x)のグラフがx軸のx>2の部分と, 異なる2点で交わることである。 よって, f(x)=0 の判別式 をDとすると,次のことが同時に成り立つ。 軸>2 [1] D> 0 [2] (軸の位置) >2 [3] f(2)>0 [1] 2012 = (-(a-4)}-1・2a=q-10a+16=(a−2)(a-8) 4 D>0 から (a−2)(a-8)>0 OSA よって a<2,8<a Jedan [2] (軸の位置) > 2 から α-4>2 よってa>6 A ② [3] f(2) > 0 から 20-2a>0 よって a <10 ...... ①,②,③の共通範囲を求めて 8<a<10 (2) 方程式 f(x)=0 が2より大きい解と2より小さい解をも つための条件は, y=f(x)のグラフがx軸のx>2 の部分 とx<2の部分で交わることであるから (2) < 0 よって 20-2a<0 したがって a>10 ...... YA 0 2 A 2 0 2 6 基本 94 8 10 a 基

D＞0は要らないんですか？

以万程式の解の存在範囲 (3) …解が 2数の間 F(0)>0 かつ f(1) <0 かつ f(2)>0 … 「るとき, 0<α<1<β<2 を満たすように, 定数 aの値の範囲を定めよ。 |2次方程式 x?-2(a-1)x+(a-2)?30 の異なる2つの実数解を α, Bとす グラフをイメージ… f(0), f(1), f(2) の符号に着目 (x)=x°-2(a-1)x+(a-2)? とすると, y=f(x)のグラ 本例題 149 【類立教大] 「基本94,95 CHART O 2次方程式の解が2数の間 ラフをイメージ f (0), f(1), f(2) の符号に着目 SOLUTION フは下に凸の放物線で右の図のようになり、 を満たすようなaの値の範囲を求めればよい。 3章 B2 x 11 {x)=x°-2(a-1)x+(a-2)? とする。 =(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, Ka<1<B<2 となる条件は f(0)>0 かつ F(1) <0 かつ f (2)>0 である。 グラフをイメージする。 代 3つの条件がすべて必要。 例えば,f(0)>0 でなく, f(0)<0 とすると, ソ=f(x) のグラフは, f(0)=(a-2)? f(1)=1-2(a-1)+(a-2)?=α°-6a+7 f(2)=4-4(a-1)+(a-2)?=α°-8a+12 =(a-2)(a-6) ここで 下の図のようになり適 さない。 0 2 x | (a-2)?>0 a-6a+7<0 2 合ペ-6a+7=0 の解は であるから 1-| a=3±(2 0から 2以外のすべての実数 0から 3-、/2<a<3+/2 0から a<2, 6<a 9, 6, 6の共通範囲を求めて 3-/2<a<2 ISK a 3-2 2 3+/2 6 2次不等式一

青い部分がどうしてそういった考えになるのか、詳しく教えて頂きたいです🙇‍♀️

77 重要 例題45)因数分解ができるための条件 O{O 2+3xy+2y?-3x-5y+k がx, yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k の値を求めよ。また,その場合に,この式を因数分解せよ。 ら,46 【東京薬大) 基本 44 こと、 4 (S) 指針>与式がx, yの1次式の積の形に因数分解できるということは, (与式)=(ax+bytc)(x+qy+r)| 2章 の形に表されるということである。恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで は,与式をxの2次式 とみたとき, 30 とおいたxの2次方程式の 解がッの1次式 で なければならないと考えて,kの値を求めてみよう。 ポイントは,解がyの1次式であれば, 解の公式における、 内がyについての 完全平 方式[(整式)の形の整式] となることである。 9 解答 P=x°+3xy+2y?-3x-5y+kとすると P=x°+3(y-1)x+2y?-5y+k」 P=0 をxについての2次方程式と考えると,解の公式から -)(ロー イx°の係数が1であるから, xについて整理した方がら くである。 -3(y-1)土/9(y-1)-4(2y°-5y+k) X= 2 -3(y-1)±Vy?+2y+9-4k 大分 この2つの解をα, Bとす ると,複素数の範囲で考え て P=(x-α)(x-B) と因数分解される。 完全平方式 → =0 が重解をもつ →判別式 D=0/O 三 2 Pがx, yの1次式の積に因数分解できるためには,この解がy」 の次式で表されなければならない。 のよって,根号内の式 y?+2y+9-4k は完全平方式でなければな らないから,y°+2y+9-4k=0の判別式をDとすると D ー=12-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2 5) よ4 _3y+3±(y+1) (20八0)0 十x( V(o+1)° =ly+1|である が,±がついているから, y+1の符号で分ける必要 このとき 三 X= 2 他 x=-y+2, -2y+1 P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) すなわち はない。 よって 求める問 解と係数の関係、解の存在範囲

⑴は解が2つあるはずなのに、解説2行目でD>0ではなくD≧0になっているのは何故ですか？

基本 例題50 2次方程式の解の存在範囲 OOOO0 2次方程式 x°-2px+カ+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数pの値 の範囲を定めよ。 (1))2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 p.81 基本事項 2 指針>2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解をα, Bとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3とB-3が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用 する解法(か.81 の解説)もある。これについては, 解答副文の別解参照。 解答 2次方程式x-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 をDとする。 別解 2次関数 f(x)=x°-2px++2の グラフを利用する。 D -(-か-(カ+2)=Dがーカー2=(カ+1)(カー2)さ代 解と係数の関係から 1) >1, B>1であるための条件は27の」amにイコール D0 かつ(α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0 D20 から よって (α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カ-2>0 よって (α-1)(B-1)>0 すなわち aB-(α+B)+1>0 から α+8=2p, aB=p+2 軸について x=p>1, 209,2 f(1)=3-p>0 から 2<p<3 (p+1)(p-2)20 の YA ズ=p y=f(x) pS-1, 2<p 3-P p>1 0 1 B x p+2-2p+1>0 よって 求めるかの値の範囲は, ①, ②, 3の共通範囲をとって かく3 である-0 (2) f(3)=11-5かく0から 11 カ> 5 -1 1 2 3 2冬pく3 (2) <Bとすると, α<3<Bであるための条件は (α-3)(B-3)<0 題意から, α=Bはありえ ない。 aB-3(α+B)+9<0 p+2-3-2カ+9<0 すなわち ゆえに かか 5 11 よって p>言

この問題の(2)はなぜ、判別式の条件が必要ないのですか？

基本 例題50 2次方程式 x*-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値 2次方程式の解の存在範囲 OOOOの の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 D.81 基本事項 2 指針>2次方程式x-2px+p+2=0の2つの解を α, βとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3と B-3が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用 する解法(p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の「別解参照。 2章 9 解答 2次方程式x-2px+カ+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 別解 2次関数 f(x)=x"-2px+カ+2の グラフを利用する。 をDとする。 =(-か)°-(p+2)=がーカー2=(カ+1)(カー2) 解と係数の関係から α+B=2p, aB=p+2 (1) a>1, B>1であるための条件は D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0 軸について x=Dp>1, f(1)=3-p>0 から 2Sp<3 D20から (p+1)(p-2)20 ズ=p y=f(x) よって pS-1, 2<p の (α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 20-2>0 3- よって (a 0 1 B (α-1)(B-1)>0 すなわち aβ-(α+8)+1>0 から p+2-2p+1>0 3 かく3 求めるかの値の範囲は, ①, ②, 3の共通範囲をとって よって (2) f(3)=11-5かく0から 11 -1 123 p p> 5 2Sp<3 (2) α<Bとすると, α<3<Bであるための条件は (α-3)(B-3)<0 4題意から, α=Bはありえ ない。 aB-3(α+B)+9<0 カ+2-3-2p+9<0 すなわち ゆえに ats 11 よって 練習 2次方程式x°-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数aの 解と係数の関係、解の存在範囲

(2)なんですが、ab＜0だけだと、x²−4X−4のときも含みますよね？？これだと重解で異符号の獬は出なくてバツじゃないんですか？

2次方程式 x+2(a-3)x+a+330 の解が次の条件を満たすような定数a 例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (1)島 0dOOO0 の値の範囲をそれぞれ求めよ。のと (1) 異なる2つの正の解をもつ (2)。異符号の解をもつ D.70 基本事項 4 大 CHART OSOLUTION 2次方程式の異なる2つの実数解α, Bの符号 >0 かつ B>0 → D>0, α+B>0, αB>0] αとBが異符号 → αB<0 解と係数の関係を用いて, α+B, aBをaを用いて表す。 解答 2+2(a-3)x+a+3=0 の2つの解を α, βとし,判別式をD とすると リ=(a-3)?-(a+3)=(a-1)(a-6) 解と係数の関係により (1) a, Bが異なる正の数であるための条件は,次の 0, 2, ③ が同時に成り立つことである。 a+B=-2(a-3), aB=a+3 D>0 ·0, α+B>0 2,"aB>0 …③ 0から a<1,6<a のちD 2から a<3 ③から a>-3 6 式81 4- の, 6, ⑥ の共通範囲を求めて (2) α, Bが異符号であるための条件は よって,求めるaの範囲は Da-0 となればよいか -3<a<1 -3 0S 13 6 a aB<0 合このとき, D>0 は、 +動産 立っている。 a<-3 18ト (1-)て 00-(p.704解説参照) であるから、 0S+(A+S-8p INFORMATION 2次関数のグラフを利用 f(x)=x°+2(a-3)x+a+3 のグラ フを利用すると,a<B として Dfx)+ー-(a-3) fx)+ 国 S 0 (軸の位置)>0 f(0)>0 (2)f(0)<0(カ.715 補足参照) O| @ B 1B く ン Poacmran C の

106の問題についてです。 この問題を答える上で、軸の位置指定の必要性がわかりません。 f(-1)＞0、f(2)＞0、判別式D＞0の3つでは不十分でしょうか。 軸の位置がなくても、他の3つの条件と、x^2の係数が正ということで、しぼれている気がします。軸がわかってないと... 続きを読む

と呼け。 →142 4 加わる。 慣れてきたら、 とおかないで、 計算する。 これらの直線の方程式を求めよ。 →143 os 0°%0%180° のとき, y=sin*0+cos*0とする。 sin'0=tとおくと, リ=アコ-イ +ウ と表されるから, yは0=エ]のとき最大値 オ口, 0=カ]のとき最小値 口をとる。 →146 106 0°S0S180° とする。xの2次方程式 x?-(cosθ)x+cos0=0 が異なる2つの実 数解をもち,それらがともに 一1<x<2の範囲に含まれるようなθの値の範囲を 求めよ。 [秋田大) →147 60° 100(2) 0°<0<90°のとき, cos0>0であるから cos0=V1-sin°0 101 sin0, cosθ の対称式は sin0+cosθ, sin@cosθで表す。 sin0 HINT cos と変形。 1 (1) tan0+ COs 0 sin0 tan0 102 (1) 条件の式と sin'0+cos"0=1 から, cos0 を消去する。 (2) cos6, sinθの値を求める。 103 かくれた条件 sin'x+cos。x=1, sin'y+cos"y=1 を利用する。 104 すべて、 原点を通る直線に平行移動したもので考える。 105 tの変域に注意。 106 2次関数のグラフを利用する。 D, 軸の位置, f(-1), f(2)の符号に着目する。 こる2つ EXI