重要 例題 157 定積分と漸化式 ( 2 )
B(m,n)=
xm-1(1-x) "-1dx [m, nは自然数] とする。 次のことを証明せよ。
(1) B(m,n)=B(n,m)
n-1
(2) B(m, n)=-
m
-B(m+1, n-1) [n≧2]
(m-1)!(n-1)!
(3) B(m, n)=.
(m+n-1)!
p.262 基本事項 2, 重要 138 156
指針 (1) B(n,m)=Sox-1(1-x)" dx は, B(m,n)のx を 1-xにおき換えたものであ
る。そこで, 1-x=tとおき, 置換積分法を用いる。
(2)11-x) (1-x)とみて部分積分法を用いる。
解答
(1) 1-x=t とおくと, x=1-tから
xtの対応は右のようになる。
dx=-dt
x
0 → 1
t 1→0
B(m,n)=f(1-t)"1"-1(-1)dt=S-1(1-1)"t
=Sox"-1(1-x)"''dx=B(n,m)
.m
(2)Bm,n)=(x) (1-x)"' dx
m
[(1-2) -S.(n-1)(1-x)".(-1)dx
0
=n-1fox(m+1)-1(1-x)(
m
0
(n-1)-1
(3)n≧2 のとき, (2) の結果を繰り返し用いて
B(m,n)=n-1
m
n-1
定積分は積分変数
無関係
dx= -B(m+1, n-1)
n-2
m
-B(m+1, n-1)=n-1. -B(m+2, n-2)=...
(n-1) (n-2)････2･1
m(m+1)......(m+n-2
(m-1)! (n-1)! S' xm+n-2
(m+n-2)! 20
m+1
m
-B(m+n-1,1)
2dx
(m-1)! (n-1)! xm+n-1 (m-1)!(n-1)!
(m+n-2)! [m+n-1].
n=1のとき, B(m,1)=xm-dx=
も成り立つ。
=
m Jo
(m+n-1)!
(n-1) 回繰り返
して,●B(■
の形にする。
①
1であるから,①はn=1のとき
m
練習
= sin" xcos" xdx とする。ただし,
157m,nを0以上の整数として,Im,n=
sinx=cosx=1である。
0
(1)=Ls
および
n-1
1.268
れる
