数研
https
(1)850
(2) F
EXER
114
基本の
OLER
65 逆関数の微分法,x (pは有理数)の導関数
(1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。
00000
(2) y=x'+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g'(0) を求めよ。
(イ)y=√x2+3
p.110 基本事項目
(3) 次の関数を微分せよ。
(7) y=x
dy
指針 (1) (2) 逆関数の微分法の公式
dx
dx
1 を利用して計算する。
dy
(1) y=x' の逆関数は
049 1x
(1)
x=y" (すなわち y=x1)
xyの関数とみてyで微分し、最後にy を x の関数で表す。
(2) y=g(x) として (1) と同様にg(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。
→x=0のときのyの値[=g(0)] を求め, それを利用してg (0) を求める。
(3)が有理数のとき (x)'=px-1
(1) y=xの逆関数は, x=y3 を満たす。
解答
dx
よって
==3y2
dy
ゆえに, x=0のとき
を利用。
別解 (1) y=xの逆関
| y=x3で
dy-(x³y-xt
dx
(2)
dy
1
1
1
dx dx 3y2 3(y³)³ 3x3
3
dy
(2) y=g(x) とすると, 条件から x=y+3y
たされる。
①から
g'(x)=
dy 1
dx
dx
3y²+3
dy
①が満関数f(x)とその逆関
f'(x)について
x=0のとき '+3y=0 すなわちy(y2+3)=0
y2+3>0であるから y=0
y=f(x) ⇔x=f()
の関係があること(p.24
基本事項20) に注意。
1
1
したがって g'(0)
3.02+3
3
(3) (7) y=(x*)'=
3
4√x
(4) y=(x+3)=(x²+3)(x²+3)'= −√x²+3
練習
(1)
② 65
y= の逆関数の導関数を求めよ。
1
f(x)=- の逆関数f(x)のx=-
x3+1
(3)次の関数を微分せよ。
x
合成関数の微分。
における微分係数を求めよ。
(ア) y=
1
x²
(イ) y=√2-x3
(イ) 広島市
(ウ)
x-1
P.115 EX
x+1
