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4/15 まよし
例題
基本例
37 2乗して6iになる複素数
2乗すると6i になるような複素数zを求めよ。
① z=x+yi (x, y は実数)とする。
z2=6i すなわち (x+yi) = 6i の左辺を展開し, iについて整理する。
3 前ページと同じように、次の複素数の相等条件を利用して x, yの
a+bi=c+di⇔a=c, b=d (a, b,c,dは実数)
CHART iのある計算-1に気をつけて, iについて整理
z=x+yi (x,y は実数) とすると
解答
22=(x+yi)2=x2+2xyi+y2iz
=x2-y2+2xyi
z26iのとき
x2-y2+2xyi=6il
をきちんと書く。
i=-1
2章 7複素数
D, 2xy=6
(x+y)(x-y)=0
y= ±x
(3
x,yは実数であるから, x-y2と2xy も実数である。
したがって-y2=0)
①から
よって
1)
実部, 虚部がそれぞれ等し
い。
x+y=0またはx-y=0
[1] y=x のとき,②から
x2=3
すなわち
x=±√3
y=x であるから
x=√3のとき
y=√3,
x=√3のとき√3
2-3
[2] y=-x のとき,② から
(複号同順)を用いて,次の
ように書いてもよい。
x=±√3, y=±√3
これを満たす実数xは存在しない。
以上から
z=√3+√i-√3-√3i
注意② で,xy=3>0であるから,xとyは同符号であ
る。ゆえに,③ において y=-x となることはない。
(複号同順)
または
(x,y)=(±√3 ±√3)
(複号同順)
検討
虚数では大小関係や,正・負は考えない
虚数にも,実数と同じような大小関係があると仮定し,例えば, i0 とする。
この両辺にiを掛けると, ixi>0xi すなわち 0 となるが,実際にはi=-1であるか
ら,これは矛盾である。 一方, i<0としても同じように, i>0 となって矛盾が生じる。
更に, i≠0 であることは明らかである。
よって, iを正の数, 0, 負の数のいずれかに分類することはできない。
したがって, 正の数, 負の数というときには,数は実数を意味する。
また,特に断りがない場合でも、設問で2a+1>36-2のような不等式が与えられたら,文
字a b は実数であると考えてよい。
tfish t
[類 愛媛
