【高3数学】Ⅲ型積分（数3）【全統記述模試過去問自学】

不定積分定積分積分法の応用面積・体積曲線の長さ

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赤城 (◕ᴗ◕🎀

Senior High3

リク用自学

2025.08.22 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2011年度8月第2回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅲ型
6 【Ⅲ型 選択問題】 (配点 40点)
1
(1)
=dx,
√1-x²
(2)0≦x≦
π
tan xdxの値をそれぞれ求めよ.
ta
- において,
XVI-X' S - 5 con² (√)
xxcos
x
が成り立つことを証明せよ.
1
(3)2曲線
y=
(0≦x≦
V1-x2
X
y=
(0≦x≦
√2π
COS
X
およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

ページ2:

自学@Akagi ♥
1
(1)
/2
2
dx
sin² + cos² = 1
√1-x²
▷ x = sin0とおくと
また
dx = cos de
π
x:0→>>
のとき 0:0
4
よって
=dx = √
1
cose.de
√1-x²
- sin² 0
1
cose.de
| cos 0 ||
π
1
..cose.de
=
Cos
=
π
e
+4
|4|
40

ページ3:

(1)
4 tan xdx
tan x =
sin x
tan xdx
=
dx
sin x
COS X
-に着目
=
=
COS X
(-cos x)'
-dx
COS X
-[ log | cos x |
--
40
(log | y |) =
y'
y
=-[log | cos-log|cos0)
--log-log!)
= -log-
1/2(-1/210g2)

ページ4:

1
(2)xvl-x2 - ≦ cos2
ア
①: アを証明します。
√√√2π
4
x
xv1_x2=Vx2-x4 =v-x4 + x2
xtとおくと
=
(x2
+
-より0≦x≦ーだから0≦≦
よ
だからOSIS
ここで,0≦x≦
√2
よって
したがって xv1-x2 ≦
②: イを証明します。
0 ≤
x1の図々に浮きをかけると
√2
cos0=1, COS
π
=
方
より
辺々を自乗すると
--
2
-
√2π
兀
0≤
兀
X
COS
cosO≧ cos
∴. 1≧ cos
√√2π
x
√2
cos
x≦
4
COS
4
cos³ (√)
x
√2
2
x
したがって1/25cm (24)
▷ ①,②より, xv1x2s
1½-½ ½
√2π
XVI-³½³ (√) =
2
COS
X

ページ5:

(3)(2)より xv1-x2≦cos2
√2π
x
·① (0 ≤ x ≤.
4
等号成立条件はx=
②の範囲で①の左辺も右辺も正だから両辺に
x
をかけると
2
COS
4
よって、2つの曲線
X
=
1
√√2π
√1-x² cos
X
x
Ⓡ,
..イは
COS
x
②の範囲ではアのほうがより上側にある。
y
√2
1
ア
①
1
X

ページ6:

1-x2
=dx - S
/2
よって、2つの曲線ア, イと y 軸で囲まれた図形の面積は
=
=
{
V1
cos2
X
√2
x)
}dx
X
π 2
4
-dx
=
+
2
-log 2
√1-x²
π
(1)で求めた
cos² (
√2
4
-x)
こっちも求めてみます。
4 π
x=0とおくと
x=
4
4
4
√2
x :0→
0でdx
1/13210:0
=
←
4
√2π
π
-de
よって
√2π
4
de
cos2
12
-de
(tan ǝ)'
cos²
√2π
π
10.(tano)' do
12
√2
2
2π
√2π
π
² | [0 tan 0] – 1
π
2
-
JO
cos
1
· tane.de
部分積分
・1-0- Stano・do
2 (474-121082)
-1 -1 log2
πT 兀
2
-log2 *(1)で求めた値
つかれた(´・ω・)