【高2 ベクトル】11月進研記述模試

ベクトルとその演算ベクトルと平面図形ベクトルの応用

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.09.29 公開

高2 数学c ベクトル進研模試過去問自学赤城ベクター vector ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度11月 高2 進擲試自学 @Akagi
B8 平面上に OA = 2, OB = 3, cos ∠AOB
=
の△OAB が
3
あり,辺 AB を 2:1に内分する点をCとする。 また, OA = a,
→
OB = b とする。
(1) 内積a・bの値を求めよ。 また, OC を a, b を用いて表せ。
(2) kは実数とする。 直線 OC 上に点H を OH = kOCとなるよ
うにとる。 OC⊥AH となるとき, kの値を求めよ。
(3) 直線 OC に関して,点Aと対称な点をDとする。 OD を a,
bを用いて表せ。 また, 直線 OD と直線 AB の交点をEとす
るとき, AB:BE を最も簡単な整数比で表せ。
(配点 20)

ページ2:

2
自学
3
A
→
→
(1) 内積の定義 a b = |a||b|cos日に
C ①
|a|=2,|6|=3, cos0=
2-3
2
を代入すると a.b=2×3×
3
= 4
|na+mb
また、内分点の位置ベクトルの公式
にm=2, n=1
m+n
10A + 2OB
1
→
を代入すると OC
==
2+1
3
2
a+ .b劄
3

ページ3:

(2)(1)より
OC = 1 + 26
a+
2-3
-b
問題文より OH = kOC
H
3
よって
OH
==
3
1
→
2
-ka+ -kb
3
・B
(2)
C
①
であり、
AH
=
OH - OA
始点の統一
2
=
k-1)a
-kb
OC⊥AH だから、 ベクトルの垂直条件(内積の値が0)より
|OC・AH = 0
2
2
①と②を代入して
-b)
-k-1)a
-kb 0
かっこをはずすと
x(=k-1)lap+=x
3 3
2 1
3 3
1
ka.b
3 3
2 2
3 3
+=x(-k-1)a ・b + x=k|b|=0
|a|2=22=4,|6|2=32=9, ab=4を代入して整理すると
6k-2/3×4+/kx4
+
9
この1次方程式を解くと
14
4
)×4+-k×9=0

ページ4:

(3) お絵かきすると
D
A
H
B
~前半~
1
9
(2)より
AH = (- ×
-
-1)a +
2
3
14
×
3
11
6:
AD = 2AHより
AD
---
a+
7
7
11
6
始点を統一すると OD-OA
--
-b
7
7
よって
4 6
-
a+ .b
OD=--+--
7 7
9
14
---
11→
a+
3 -
-b
14 7

ページ5:

~後半~
Eは直線 OD 上にあるから
OE=tOD
共線条件
4-
-
6
---
・ta +
-tb
(3)
7
7
E は直線 AB 上にもあるから、③の係数の和が1になるので
4 6
係数和 1の法則
--t+
t =
1
7
7
これを③に代入すると OE
=
7
--
2
47-6
--
x-a+-×
7-
7 2 7 2
-2a+3b
==
- 2a+3b
3-2
→
.b
外分点の位置ベクトル
の形にしてみる
よって、点E は、 辺 AB を 3:2に外分するから、
AB:BE = 1:2圈