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55(1) 実数x, yが(x-3)2+(y-3)2=8を満たすとき,x+yと
xyのとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
(2) α,βは(a-3)2 +(β-3)^=8かつα < βを満たす実数
5
とする。 また,α, βは2次方程式x²-kx+==0の2つの
2
解であるとする。 このとき,k, a, β を求めよ。
〔埼玉大〕

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2次方程式:リクエスト自学 © Akagi
(1)(x-3)²+(y-3)^= 8 を展開して基本対称式で表すと
x² − 6x+9+ y² −6y+9−8 = 0
(x² + y² ) − 6(x + y) + 10 = 0
(x + y)2-2xy-6(x + y) + 10 = 0
ここで、x + y = X, xy = Y とおくと
Yについて整理すると
X2 - 2Y - 6X + 10 = 0
Y
=1x2-3X+5…①
2
平方完成して
=1/2x-332+12
また、x、yを解とする2次方程式は(t-x)(t-y) = 0
展開すると
f2-(x+y)t +xy = 0
すなわち
t2 - Xt +Y= 0
xy は実数だから, ② の判別式を
Dとすると、 D≧0であるので
①を③に代入してYを消去すると
D=X2-4Y ≧ 0
X2-4(-X2-3X+5)≧0
2
X2 - 12X + 20≦0
(X-2)(X-5)≦0
※※の範囲で2次関数※は
X = 10で最大値 Y = 25
∴2≦x≦10 …※※
X = 3で最小値 Y = - をとるから
≦x≦25
2
≦x≦25
G2≦x+y≦10
25
1|2
2
3
10