進研記述高2模試｟円と領域｠令和7年1月

点と直線円軌跡と領域

1846

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High2

▷ 過去問自学

2026.01.05 公開

高2 数学図形と方程式進研模試過去問赤城 math ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

令和7年 1月進研記述高1模試@自学
B4 座標平面上に
円 C:x2 + y2-8x-6y +20 = 0
1
と,円Cの中心を通る直線l:
:y
--
·x+k
2
x 2 + y2-8x-6y + 20 ≦ 0
があり,連立不等式
1
y
x+k
2
の表す領域をDとする。 また, 中心が点 (α,0), 半径がrの円をK
とする。ただし, k, a, rは定数とし, rとする。
(1) kの値を求めよ。 また, 円Cと直線lの共有点の座標を求めよ。
(2) a=0とする。 円Kと領域Dが共有点をもつとき, rの最小値と
そのときの共有点の座標を求めよ。 また, 円 K と領域Dが共有点
をもつとき, rの最大値を求めよ。
(3)0≦a≦10 とする。 円Kと領域Dが共有点をもつとき, rの最
(配点 40)
小値をαの値によって場合分けをして求めよ。

ページ2:

自学 © Akagi
(1) 前半
円Cの中心の座標と半径を求める。 平方完成して
(x-4)2+(y-3)²=5 中心 (4,3) 半径√5
kの値を求める。 中心の座標を直線lの式に代入して
3
=-
1
x4+k
.. k = 5
2
▲ 後半
円C:(x-4)² +(y-3)^=5, l:y=-x+5
2
円Cと直線lの共有点の座標を求める。 lをCに代入して
1
(x-4)2+(--x+5-3)2=5
:(x-4)²=4
2
整理して2次方程式を解くと
これらをそれぞれℓに代入すると
したがって, 共有点の座標は
x=2,6
y = 4, 2
(2,4), (6,2)

ページ3:

自学© Akagi
(2) ▷ 準備 a=0より K:x2 + y2 = r2
r²
領域Dを図示すると
(2,4)
(4,3)
(6, 2)
x
VI
0
(2,4)
(4,3)
(6, 2)
X
前半
rが最小となるのは,原点から直線lまでの距離が最小, つまり
垂直に交わるときだから, 点 (2,4)を通るとき。
2点間の距離の公式により
▲ 後半
r =
=√(2-0)2 +(4-0)²=2√5 終
共有点の座標は
(2,4)
rが最大となるのは、2つの円の中心を通る線を引き,その線と
円Cとの交点のうち原点から遠いほうの点をとって原点と結んだ
とき。
つまり, 原点から円Cの中心までの距離に円Cの半径を加えた
距離
2点間の距離の公式により
r=√√(4-0)²+(3-0)2+√5=5+√5

ページ4:

自学 © Akagi
(3) 点 (6,2)を通る傾きが2の直線の式は y = 2x-10
この直線と x 軸との交点は (5, 0)
よって,:0≦a≦5 と ①:5≦a≦10 に分けるとよさげ。
⑦ 0≦a≦5 のとき
円Kの中心 (α, 0) と直線l:y=-
1
2x + 50
+5との距離がrの
最小値だから
点と直線の距離の公式により
x+2y-10=0
|a+2×0-10| |a-10|
r =
V12 + 22
√√5
0≦a≦5より
a-10 √√√5
=
(10-a)|
√5 5
① 5≦a≦10 のとき
y
円Kの中心(a, 0)と領域 D内の点 (6, 2)との距離がの
最小値だから
2点間の距離の公式により
√(6-a)+(2-0)^= √a2-12a +40
r =
a)²
0)²
y=2x-10
y
y=2x-10
(2,4)
C
(4,3)
(6, 2)
(2,4)
(4,3)
(6, 2)
/5
a 10
x
a
15
10