進研記述高2模試｟数列漸化式｠令和7年1月

数列いろいろな数列漸化式と数学的帰納法

1810

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High2

▷ 過去問自学

2026.01.06 公開

高2 数学数列漸化式進研模試過去問赤城数学的帰納法帰納法 math 数学B ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

令和7年1月進研記述高1 模試@自学
B5 公差が3の等差数列{a}があり, as + α = 32 を満たしている。
n
また,数列{b,}があり,b, = 1, b,+1-b=a (n=1,2,3, …)
n
を満たしている。
(1) 数列{a}の一般項 α を n を用いて表せ。
n
(2) bz, b3, baをそれぞれ求めよ。 また, 数列{b,}の一般項b, を
nを用いて表せ。
(3) bn+4 - b, は偶数であることを示せ。また,数列{b,}の項のうち,
n
20
奇数であるものを小さい順に並べてできる数列を{c}とする。ck
を求めよ。
k=1
(配点 40)

ページ2:

自学 © Akagi
(1) 数列{a}の初項をα, 公差をd とすると, 一般項は
n
an=a+(n-1)d
公差が3だから
d=3
よって
an=a,+(n-1)x3 = a +3n-3
・①
と表せ,
as = a +3×5-3 = q, +12
a = a +3×7-3 = a + 18
これらの和が 32 だから
(a +12)+(a, +18) =32
よって
q=1
①に代入して整理すると
an
=3n-2☑

ページ3:

自学© Akagi
(2) b, = 1, bm+1-bm=an
◆ 前半
(1)より
b-b=3n-2
→>
n+1
②で
n=1のとき
n =
=2のとき
■ 後半
n=3のとき
②は階差数列型の漸化式。
|bn+1=b+3n-2
bz = b, +3×1-2=2
b = b +3×2-2=6
b = b +3×3-2=13
n≧2のとき b=b1+2 (3k-2)
k=1
1
4
=1+3×12(n-1){(n-1)+1}-2(n-1)
7
3
2
=
2
n + 3 終
2
これは, n=1のときにも成り立つ。
②

ページ4:

自学 © Akagi
(3)
前半
b+4 -6 は偶数であることを示す。
n
3n²-7n+6
b.
より
2
b.
=
n+4
3(n+4)2-7(n+4) +63n² + 17n + 26
2
よってbata-b=12n+10=2(6n+5)
2
6n + 5 は整数だから, bn+4 -b, は偶数である。幽

ページ5:

É*©Akagi
(3) 後半
20
Σck を求める。
k=1
b₁ =1, b₂ = 2, b₁ = 6, b₁ = 13,
4
b = 23, b = 36, b₁ = 52, b₂ = 71,
(奇数, 偶数, 偶数 奇数) が繰り返し現れるので
n=4m-3,4m のときが奇数, n=4m-2, 4m-1のときは偶数
だから,
Cn = C 2m-1 + C2m = b4m-3 +b4
3n2-7n+6
4m
=
n
と表せるので
2
シグマ計算をすると
20
k=1
10
=Σ (b₁
m=1
4m-3
+bam)
n
k
=
2
-n(n+1)
n
k=1
[W] =W]
n
Σk²
k=1
=
6
∙n(n+1)(2n+1)
10
-
-
10
-
= 3(4m − 3) ² − 7 (4m − 3) + 6 + * 3(4m)² − 7(4m) +6
=Σ
m=1
||
2
1096m²-128m+60
m=1
10
2
m=1
=
Σ (48m² - 64m+30)
2
m=1
1
・10・11 +30 ・10
2
1
=
= 48 ×
6
· 10.11.21-64 ×
=18480-3520 + 300
=15260 終