進研記述高2模試｟数列｠令和6年～4年

数列いろいろな数列漸化式と数学的帰納法

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High2

▷ 過去問自学

2026.01.13 公開

高2 数学数列進研模試過去問赤城漸化式数学的帰納法帰納法 math ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

1月進研記述高2模試~過去3年ふりかえり~自学 ©Akagi
B 5
【2024年】
等差数列{a}があり, ag = 31, a2+α3 + α = 33 を満たしている。
また,数列{b,}があり,b=2,bmt1=3b, + 2 を満たしている。
(1) 数列{a}の一般項α をn を用いて表せ。
(2)数列{6}の一般項 b を n を用いて表せ。
n
Σ
n
(3)S, = (a,b+ax+b)とする。 S,をnを用いて表せ。
〖2023年〗
k=1
1
n
初項が一の等差数列{a}があり, a3 -α,=-2 を満たしている。
4
また, 数列{a}の初項から第n項までの和を とする。
n
n
(1) 数列{a}の公差を求めよ。 また, 一般項 α を n を用いて表せ。
n
(2) 一般項 bを a を用いて表せ。 また, 数列{b,}の偶数番目の項だ
n
けを順に取り出してつくられる数列を{c}とする。 このとき,一般項c
をnを用いて表せ。
(3) 数列{d}があり,d=3,d=-d+4を満たしている。
一般項 d„をnを用いて表せ。
【2022年】
n+1
n
等差数列{a}があり, az + α =12, a + α = 32を満たしている。
また, 数列{6}があり,b=2,b-b = 2" ' を満たしている。
n
n+]
n
(1) 数列{a}の一般項 a n を用いて表せ。
n
n
(2)数列{6}の一般項b をnを用いて表せ。
n
n
n
(3) S₁ = Σ
ak
とする。 S をnを用いて表せ。 また,n ≧ 3の
n
n
k(b-1)
とき, S, の小数部分が0.999 より大きくなるような最小のnの値を求
めよ。

ページ2:

【 2024年: 数列〗
(1) α = α₁ + (8− 1)d = 31
.. a₁ + 7d = 31
・①
α ₂ + α 3 + α ₁ = (a₁ + d) + (a₁ +2d)+(a₁ +3d) = 33
.. 3a + 6d=33
②
①×3-② より
15d = ¥60
①より
. d = 4
a₁ = 3
α = 3α +2
したがって
an
=4n-1圈
→ α = −1
(2) b₁ = 2, b = 3b, +2
=3b+2 → br.
bn+1+1=3(b +1)
n+1
n
特殊解型の
·· b₂ +1=3·3-1
数列{b+1}は
n
初項3公比3の
漸化式
n
·· b₂ = 3″ – 1×
等比数列

ページ3:

【2024年:数列】
(3) a =4n-1, b =3"-1
n
n
->
k
k
ab + a + b = (4k − 1)(3k − 1) + (4k − 1) + (3* − 1)
-
-
.
= 4k 3k -1
n
n
よってS
n
k
k=1
k=1
n
n
ここで,k. とおくと
T. = 3k
£ɔT S¸ =Ź (a,b,+a¸ +b‚)=4Σk-3-
k=1
[1
k=1
( 等差) × (等比)型
T. =1.3¹ +2.3² +3.33 +...+n.3"
n
n.3n+1
1.32 +233 ++ (n-1).3" + n.3 "+1 ...②
3T =
n
①-②より
-27=3' +32 +33 +...+ 3" - n.3"+1
n
3(3" -1)
=
n⋅ 3n+1
よって
3-1
· (3n+1 - 3-n⋅ 3 "+1)
=/12
|=
T₁ = 1½ (2n-1) - 3+1
n 4
⑩に代入すると
.
3
+
4
S₁ = 4
n
4
=
(2n-1). 3n+1 +
= (2n − 1)· 3+1 — n+3
-
3
- n
4

ページ4:

【2023 年:数列〗
1
1
(1) α 3
a₁ = 4+ (3-1)d = 2d +, a = + (7−1)d = 6d + ||
1
1
4
4
4
4
a3-a₁ = (2d +
(2d+1)-(6d+12)=-2d=12
an
1
--
4
+ (n-1) x
1
2
==
2
n
-
1
4
☑
(2) b = =
n
+ (n-1)x
等差数列の和の公式
1
==
4
n²
=
=
b2 1, b4 4, b = 9, 1
6
...
1
Cn
c₁ = b₂n
2n
-·(2n)² = n²
4
1
(3) d₁ =3, d₁₁₁ = −d +4
d,
→>
n+1
n
d+1-2=-(d−2)
n
:.
特殊解型の
d-2=1⋅(-1)"-1
漸化式
数列{d-2}は
n
d = (-1)" +2
初項1公比-1の
等比数列

ページ5:

【2022年:数列〗
(1) a + α = (a + d)+(a,+3d)=12
a6
4
+ α = (a + 5d)+(a, +9d)=32
• a₁ +2d=6 ......①
.. a₁ +7d=16
②
② ① より
5d=10
. d = 2
①へ代入して
α +2x2 = 6
• a₁ = 2
したがって
n
=2+(n-1)x 2 = 2n圏
(2)6,=2,b-b=2"-1
n+1
階差数列型の漸化式
n≧2のとき bm=b,+ X21=2+
n-1
k-1
k=1
これはn=1のときにも成り立つ。
1(2"-1
2-1
-
1)
=
2" + 1劄
初項 1, 公比 2, 項数 n-1
の等比数列の和

ページ6:

【2022年: 数列〗
(3) Sn
=
n
k=1
ak
=
k(bk-1)
n
2k
k (2k-1 +1-1)
k=1k(2
1
n
n
=2Σ
k=1
1
2
k-1
=
=4
2
=2x
1
1
2
n-2
n-2
1
<1→
>-1
2
1
ok(12)
n-2
1
2
答
∴.4>4-|
n-2
>4-(+) >:
2
∴3 <S <4
n
元の数-整数部分
S の小数部分はS-3=1-
n
Su-3-1-(1)
n
これが 0.999 より大きいので
n-2
1
1
2
> 0.999 ..
211 = 2048
212 = 4096
※を満たす最小のnは
2
(1)
2
(1)
2
>3
n-2
n-2
n-2
> -0.001
1
1000
<0.001
∴.2"-21000
2"> 4000
……※
n = 12