2025 神戸大学理系数学　解説！

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RaiNe

Senior HighAll

お久しぶりです！RaiNeです！！

2025年の神戸大学理系数学解いてみました！
見てみてね〜！

2026.02.05 公開

関数方程式共有点媒介変数

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ノートテキスト

ページ1:

1. kを実数とする。 f(x) とg(x) を
-
f(x) = |x³ − x|, g(x) = k(x+1)
とおき, 曲線y=f(x) を C, 直線y=g(x) をlとする。 以下の問
に答えよ。(配点30点)
(1) 曲線Cの概形をかけ。 ただし, 関数 f(x) の極大値を調べる必
要はない。
(2) 曲線Cと直線 l がちょうど4つの共有点をもつようなんの値
を求めよ。
2. 実数aに対して,αを超えない最大の整数をkとするとき,a-k
=Vn2+1-n とお
をαの小数部分という。 n を自然数とし, an=V
く。 以下の問に答えよ。 (配点30点)
(1) 0 < an <1が成り立つことを示せ。
(2) bn3n
* (3n-1) 0
の小数部分とする。 bn を n を用いて表せ。
(3) b (2) 定めたものとする。 m, n を異なる2つの自然数と
するとき,am + b =1であることを示せ。
3. 媒介変数を用いて
x=sin0, y = cos0 + sin 0 (0≦02
で表される曲線をCとする。 以下の問に答えよ。 (配点30点)
(1) 曲線Cの概形をかけ。
(2) 曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ。

ページ2:

4. s,t を実数とする。座標空間に3点
A(-4, -1, 0), B(-3, 0, -1),P(s, t, -2s +t-1)
がある。 以下の問に答えよ。 (配点30点)
(1)3点A, B, Pは一直線上にないことを示せ。
(2) 点Pから直線ABに下ろした垂線をPH とする。 点Hの座標
をs を用いて表せ。
(3) s,tが変化するとき,三角形ABPの面積の最小値を求めよ。
5. 連続関数 f(x) は≧0で f(x) ≧0を満たし, æ>0で微分可能で
あり,その導関数 f'(x) は連続であるとする。 t≧ 1 を満たすt に
対して,原点と点P(t,f(t)) の距離をg(t) とする。 また, t>1
を満たすに対して, y=f(x) (1≦x≦t) で表される曲線の長
さをh(t) とし, t=1のときはん(1)=0とする。 以下の問に答え
よ。 (配点30点)
(1) t>1とする。 開区間 (1,t) で常に f(x) - xf'(x) = 0 が成り
f(x)
立つならば,閉区間[1,4]で は定数であることを示せ。
X
(2) t≧1を満たす任意のに対して, g(t)=h(t) +2が成り立つ
とする。このとき, f (1) の値を求めよ。 また, t≧1のとき
f(t) を tを用いて表せ。

ページ3:

1
x³-x≤0 T25 12" -1≤7,0≤x≤i
y=f(x)のグラフはy=x3-xの上の区間に
ついて、仕軸で折り返したものである。
以上から、Cの概形は右図。
(2)
X
lはkの値によらず共有点(-1,0)を通る。
以下ではケニー1以外の共有点を3つ持つ条件を考える。
共有点は次の方程式を満たす。
|xc3-x1=k(x+1)
(1)からゆく-1では共有点は高々1つ。
x>-1の時x+1>0から、
|x(x-1)|=k
y=|x(x-1)|のグラフ右図であり、
y=kとの共有点が3つとなるのは
k
x=1/2である。
以上から
k =
-||||
x

ページ4:

2
anの定義式から、
an=
(√n² + 1-n) (√n² + 1 +n)
√n²+1+n
1n2+1+n>1から、 0<an<1
1
=
√n²+1+n
(2)
n² <n²+1 <n²+2n+125,
n< √ n² + 1 < n + 1
1
3n
an
=3n-(Jniti+n)
=2n- n2+1
=
=(n-1)+{1-(Jn2+i-n)}
以上より, 小数部分bn=1+n-Jn2+1
(3)
f(s) = √s2+1+5は自然数について、自明に単調増加。
相異なる自然数n,mについて、 f(n)=f(m)
1
つまり、
7₤4, f(m) f(n) =0
キ0
よって、am-an≠0
また、(2)から bn=1-an
以上から、
am+bn=am+(1-an)
=
+(am-an)
したがって、am+bnキイ
□

ページ5:

3
f(日)= cos0 +|sine| とおく。
f(2-0)=cos (2π-日)+| sin(2π-9)|
=
cose +|sina|= f(日)
O≦OTO≦2匹で曲線Cはy軸対称。
o≦a≦において、
dx
= cose
do
f'(日)=-sine + cos=-√sin(e-1)
増減表と概形は下図。
6
0
x'
TC
0
4
1 +
2
F
+
2
x
0
0
1
-
。
2
y' 1 十
0
|
y
1 7 √2
1
(2)
曲線CのO≦eの各部分を
41/76
y
1
√2/2
x
x=x(y)、x= x2(y)とおく。 求める面積Sとして
S
$
= 2
=2
2
√2
√2
{√ = x2 (y) dy = √ √² x₁ (y) dy }
-1
π/4
-
1
*sing(cose-sine)de-sine(cose-sine)de }}
=[1/12sin20-12cos20-6]n="
T14
0

ページ6:

4
(1)
AB=(-3,0,-1)-(-4,-1,0)=(1,1,-1)
AP=(s,t,-2s+t-1)-(-4,-1,0)=(s+4,t+1,-2s+t-1)
A,B,Pが一直線上にあると仮定する。
このとき、実数kを用いてAB=KABと書ける。
s+4=k,t+1=k, -2stt-1=-k
-2(k-4)+(k-1)-1=-k⇔10= 0
よって矛盾が生じるため、A,B,Pは一直線上にない。
(2) Hの座標(x,y,z)に対して、PH=(x-s,y-t,z+25-t+1)
(3)
PHはABと垂直なので、PH・AB=0
Hは直線AB上にあるので、
2式から、 u=s+2
AH=uAB
以上から、垂線の足H (s-2,s+1,-5-2)
△ABP=1/2AB・PHであり、AB=√12+12+(-12=13
(2)より PH=(-2,s-t+1,s-t-1)
|PH12= (-2)^2+(s-t+1)2+(s-t-1)2
= (s-t)'+2+4=(s-t)2+6
s=tのとき、PHの最小値Jをとる。
よって、△ABPの面積の最小値は
1/2AB・PH=
3√2
2

ページ7:

5
(1)
{f(x)}=
t>1について、 f(x)-f(x)=0とすると、
xf(x)-f(x)
= 0
x2
区間(1,t)でf(x)は定数である。
x
(2) t=1についてg(t)=h(t)+2を適用すると、
12+{f(1)}2=h(1) + 2 = 2
1+{f(1)}2=4
f(1) ≧0 から, f(1)=J
また,g(t),h(t)は定義から、
g(t)=t2+{f(t)}2, g(t)=
t
h(t) = [i* √₁+ { f'(u)}² du
1+
g(t) = h(t)+2の両方微分すると、
g'(t) = h'(t)
t+f(t) f'(t)
t2+{f(t)}2
=
=√i+{f(t)}2
t+ f(t)f(t)
| t²+ {f(t)}²
t+ f(t)f(t) = Jt^2+{f(t)}2 1+{f(t)}2
=
{f(t)-f(t) } = 0
=
√
tf(t) - f(t) = 0
(1)より、実数kを用いると f(t)=kt
t≧1でf(t)は連続なのでf(1)=13から
f(t)=t