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数学Ⅰ (標準~発展編) 解答例&プチ解説
1 小問集合
(1) 式の展開
(x + y + z)(x − y + z)(x + y − z)(x − y − z)
-
組み合わせをくふう
= {(x + y) + z}{(x + y) − z}{(x − y) + z}{(x − y) − z}
= {(x + y)² - z² }{(x − y)² - z²}
-
= (x + y) (xy)-(x + y)² + (x − y)²² +24
2
4
= {(x + y)(x − y)}² - (2x² + 2y ²)z² + z+
= (x² - y²)² −2z²x² - 2y² z² + z
=
4
: (x² - 2x² y² + y) −2z²x² −2y² z² + z
4
= x² + y² + z² − 2x² y² - 2y² z² -2z²x²
-
4
kk

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(2) 因数分解
=
3x²+7xy+2y² -5x-5y+2
= 3x² + (7y-5)x+(2y² −5y+2)
= 3x² + (7y−5)x+(2y-1) (y-2)
{3x+(y−2)}{x+(2y−1)} (3
= {3x + (y − 2)}{x + (2y − 1)}
=
=(3x+y−2)(x+2y-1)
2
✗
1-2
-4
-5
y-2->
y-2
1
2y-1
6y-3
7y-5

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(3) 式の値
1
2-√√3
X
分母の
2+√3 (2+√3)(2-√3)
=2-√3
有理化
1
2+√√3
y
2-√3 (2-√3)(2+√3)
=2+√√3
x+y=4
基本対称式
xy = 1
準備
対 分子= x2 + y2 =(x + y)²-2xy = 42 - 2・1=14
y² −
称
式 分母=x3+y=(x+y)3-3xy(x+y)
変形
=43-3.1.4
与式=
X +y
3
x+y
= 52
14
=-
52
==
7
26

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(4) 絶対値つき不等式
Vx2-4x+4=(x-2)2 =|x-2| より
x-2|<4⇔
-4<x-2 <4
辺々に2を加えて -2<x< 6 劄

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(5)実数
(p+√2)(q+3√2)
=
8+7√2
pq+3√√2p+√√2q+6−8−7√2 = 0
(pq-2)+(3p+q-7)√2
== 0
有理数
無理数
(有理数) + (無理数)=0 だから
gを消去してp(-3p +7)-2=0
3p2-7p+2=0
(3p-1)(p-2)=0
1
P
2
3
pq-2=0
3p+g-7=0
1
p =
3
のときq=6, p=2のときg=1
1
p <q より
g = 6 答
3
g=-3p+7

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2 因数分解
a²b−ab² −b²c+bc² - c² α-ca² +2abc
↓aについて降べきの順に整理
= (b−c)a² - (b² - 2bc + c²)a - (b²c-bc²)
T
= (b−c)a² - (b−c)² a − (b −c)bc
-
= (b-c) {a² - (b−c)a-bc}
1-b
✗
-b
> 1+c+c
= (b−c) (a - b)(a+c)
= (a−b) (b−c) (c+a) ☑
-b+c

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3 二重根号
V12-√108 = v12-2√27
=√√(√9-√3)²
==
=13-√√31
=3-√3
(∵√3 <3)
1 <√3 <2より
-1> -√3 > -2
∴ -1 +3 > -√3+3 > -2 + 3
.
1<3-√√3 <2
(元の数) - (整数部分)
よって, 整数部分が1だから小数部分は
(3-√3) -1=2-√3 圏

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4 3変数の対称式
x + y + z = xy + yz + zx =
111
+
-
+
-
==
X
y Z
= 2√2 +1
1
②
xyz = 1
yz + zx + xy
xyz
2√2+1
1
通分
①と②を代入
劄
要暗記
=2√2+1 圈
(2) (x+y+z)² = x² + y² + z² +2(xy + yz + zx)
移項して整理すると
x² + y² + z² = (x + y + z)² −2(xy + yz + zx)
=(2√√2+1)-2-(2√2+1)
= 8+4√√2+1-4√√2-2
= 7 劄

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5 式の値
p
=
2+√3
2乗して
p²
► 2×1
p³
=
= 7+4√√3
(7+4√3)(2+√√3)
=
26 +15√3
=
97+56√3
②を2乗してp
①~④より
p² - 4p³ +2p² -3p-1
= (97+56√3)-4(26+15√3) + 2(7+4√3)
=
-3(2+√3)-1
= (97-104+14-6-1)+(56-60+8-3)√3
=
= √√√3
(3)
④

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6 連立不等式の応用
.
(1) a=−1 のとき, 3(x-1)-2< 5x + α・・・ ①を解く。
3(x−1)−2<5x−1
⇔
3x-3-2 < 5x-1
⇔ >>
-2x < 4
-2x<4
⇔
x>-2
1
1
3
(2) (1) のとき, ① とーx +1≦
x+ ・・・②を同時に満たす
3
2
2
xの値の範囲を求める。
②を解くと 3x + 6≦2x + 9 ∴x≦3
よって
-2<x≦3
-2
3
(3)|x-2|≦2x + 5 …③ を満たすxの値の範囲を求める。
-(2x+5)≦x−2≦+(2x+5)
-2x-5≦x-2≦2x+5
|A|≦a
> -a≤A≤a
-2x-5≦x-2
x−2≦2x +5
x≧-1
..x≧-1 圈
1
x≧-7
To Be Continued N 次ページへつづく

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(4) ①~③を同時に満たす整数x がただ1つ存在するような
aの値の範囲を求める。
①:3(x-1)-2 <5x+ax >
②:x≦3
③: x≧-1
①~③を数直線上にお絵かきすると
a +5
2
-1
2
3
a+5
2
a+5
2≤-
2
<3であれば “x=3”のただ1つの
整数解をもつ。
よって、 この連立方程式を解くと-11<a≦-9 圄