こんな感じでどうでしょう。
p - q = m = 4
p + q = 2 + √5 - 2 + √5 = 2√5
pq = (2 + √5)(-2 + √5) = 1
であることを踏まえて
p³q + pq³ = pq(p² + q²) = pq{(p - q)² + 2pq} = 1*(4² + 2*1) = 18
p³/q - q³/p = (p⁴ - q⁴)/pq = (p² + q²)(p + q)(p - q)/pq
= {(p - q)² + 2pq}(p + q)(p - q)/pq
= (4² + 2*1)*2√5*4/1 = 144√5
