Question

TT姉妹BIG

至急です！！教え下さい🙏

の 三 A
さ d()
m, n は正の整数とし,x の2次方程式
2
x*- mx+ n=0
ト ま o
を考える。
中の
(1)(*) が2つの整数解 α, B(αsB) をもつとする。
点 A
(i) m=nのとき, α, B, nの値を求めよ。
(i) 3m=2nのとき, α, B, n の値を求めよ。
(2) かを素数の定数とする。
pm =5n が成り立ち,(*) が2つの整数解 α, B (α^B) をもつような m, n が
存在する素数を小さい方から3つ求めよ。
0
。い Vtそい
2

二次方程式 整数解

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブドウくん

全部わからないのでしょうか？

ブドウくん

m,nが【正の】整数であるという条件を見落としていたので訂正します。

解と係数の関係を用いると、α+β=m, αβ=nです。
(1)
(i)m=nのときα+β=αβ
αβ-α-β=0
(α-1)(β-1)=1
αとβが整数であることから、α=2,β=2もしくはα=0,β=0であり、それぞれn=αβよりn=4,0です。
【m,nは正の整数であることからn=0は不適なので(α,β,n)=(2,2,4)です。】

(ii)
3m=2nより3(α+β)=2αβ
2αβ-3α-3β=0
2倍して
4αβ-6α-6β=0
(2α-3)(2β-3)=9
【αβ=n≧0よりαとβはともに正の整数である】
α≦βから2α-3≦2β-3
よって
(2α-3,2β-3)=(1,9)(3,3)
よって(α,β)=(2,6)(3,3)であり、
それぞれn=12,9です。

(2)(1)と同様に
p(α+β)=5αβ ...(★)
5αβ-pα-pβ=0
両辺5倍
25αβ-5pα-5pβ=0
(5α-p)(5β-p)=p²
α≦βから5α-p≦5β-p
素数pの約数は1とpのみであるから、p²の正の約数は1,p,p²の3つである。
したがってp≧2から
(5α-p,5β-p)=(-p²,-1)(-p,-p)(1,p²)(p,p)

5α-p=-pかつ5β-p=-pのときと
5α-p=pかつ5β-p=pのとき
α=βより(★)は
2pα=5α²
α(5α-2p)=0
α=0,2p/5
よってp=5,10,15...であるが、pは素数なのでp=5

5α-p=-p²かつ5β-p=-1のとき
p=5β+1であるから
【5β+1であるが、このとき★に代入して計算すると、(5β+1)(α+β)=5αβ
α=-5β²-βとなり、α<0となるから不適】
β=2のときp=11 (α=-22)
β=6のときp=31 (α=-186)

5α-p=1かつ5β-p=p²のとき
p=5α-1であるから
α=4のときp=19 (β=76)
α=6のときp=29 (β=174)

ゆえにp=5,19,29

TT姉妹BIG

詳しくありがとうございます🙇‍♀️