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判別式はx軸との交点を持つかを調べるだけで等号の向きには意味はないですよ。
判別式でマイナスということはx軸との交点や接点はない、かつ与式から下に凸だとわかっているので与式は全てx軸より上にあることがわかる。
問題の与式>0を解く場合はx軸より上の部分はどこかという意味なので、上に書いた通り実数全体が答え。