Question

ぴっぴ

一橋の問題です。
(1)からわからないので解答お願いします

数列{an} を a = 5, an+1=2a"+3" (n=1,2,.....) で定める。
(1) b=a-3" とおく。 bm+1 をb, で表せ。
(2) α を求めよ。
an
(3) 1010 を満たす最大の正の整数 n を求めよ。 ただし, 10g102 0.3010, 10g103=0.4771 としてよい。
11
n

Answer 1

mo1

(1) b_[n]　＝a_[n]　－3ⁿ　･･･ ①　とすると
　　b_[n+1]＝a_[n+1]－3ⁿ⁺¹ ･･･ ②　となるので

　①から、a_[n]　＝b_[n]　＋3ⁿ　･･･　①'
　②から、a_[n+1]＝b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹ ･･･　②'

　①'，②'を与えられた式に代入し、整理
　　b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹＝2{b_[n]＋3ⁿ}＋3ⁿ
　　　　 b_[n+1]＝2･b_[n]

補足計算
【代入した後の整理】
　b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹＝2{b_[n]＋3ⁿ}＋3ⁿ
　b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹＝2･b_[n]＋2･3ⁿ＋1･3ⁿ
　b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹＝2･b_[n]＋3･3ⁿ
　b_[n+1]＋3ⁿ⁺¹＝2･b_[n]＋3ⁿ⁺¹
　　　 b_[n+1]＝2･b_[n]

mo1

(2)
　b_[n]＝a_[n]－3ⁿ，a_[1]＝5　より
　　b_[1]＝a_[1]－3¹＝5－3＝2

　b_[n+1]＝2･b_[n]，b_[1]＝2　より
　　{b_[n]}は、[初項2，公比2]の等比数列で
　　　b_[n]＝2･2ⁿ⁻¹＝2ⁿ

　よって、
　　　a_[n]＝b_[n]＋3ⁿ＝2ⁿ＋3ⁿ

　簡易確認
　　n＝1のとき、a_[1]＝2¹＋3¹＝2＋3＝5
　　n＝2のとき、a_[2]＝2²＋3²＝4＋9＝13
　　　★a_[2]＝2･a_[1]＋3¹＝2･5＋3＝13

mo1

(3)　　2ⁿ＋3ⁿ＜10¹⁰
　1＋(3/2)ⁿ＜10¹⁰/2ⁿ
(3/2)ⁿ＜1＋(3/2)ⁿ＜10¹⁰/2ⁿ
　　 (3/2)ⁿ＜10¹⁰/2ⁿ
　　　　 3ⁿ＜10¹⁰
　　n･log3＜10･log10
　　n･log3＜10
　　　　 n＜10/log3
　　　　 n＜10/0.4771＝20.959･･･
　　　　 n＝20
簡易確認
　2²⁰＋3²⁰＝ 3487832977
　　　10¹⁰＝10000000000
　2²¹＋3²¹＝10462450355