Question

ℎ

青チャートIIの軌跡と方程式の質問です。上部の赤枠で囲まれている内容がよく分かりません。特に曲線f(x,y)=0を除くという部分です。下に説明が書いてあり「すなわち」とありますが意味が分かりません。写真に書いてある説明を使わなくても大丈夫なので何故「曲線f(x,y)=0を除く」のか教えて頂きたいです。

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一般に,次のことが成り立つ [曲線f(x, y)=0 については, p.158 2 の解説も参照] 。
異なる2曲線 f(x,y)=0, g(x, y)=0がいくつかの交点をもつとき,
方程式 kf(x,y)+g(x,y)=0(kは定数)
A は,それらの交
点すべてを通る曲線を表す [ただし, 曲線 f(x,y)=0を除く]。
(
......
}(*)
4 (2) で方程式 kf+g=0 を利用する理由 思考力 判断力
2円の
求められたので、か.144個用
円の方程式の一
tmy+n=0に通る3点 (12) (-2
3文字の連立方程式を解いてもよい。しかし、通る点の座標によっては
1 (1, C)の座標を
もある
対し程式
ty="を利用して進めると, 通る点)の
代
んの1次方程を解けばよいから, 計算も簡単に進められて都合がよい
補足 1. ここで,上の (*) が成り立つ理由について考えてみよう。
2曲線がn個の交点A(xi, yi) (i=1, 2, ......, n) をもつとする。
2曲線はともに点Aを通るから, f(xi, yi) = 0, g(xi, yi) = 0 が
ともに成り立つ。 よって, たの値に関係なく,
kf(xi, yi)+g(Xi,y)=0が成り立つ。
すなわち, A の表す曲線は点 Ai (i=1, 2, ......, n) を通る。
しかし, 曲線 f(x, y) = 0 上で交点以外の点をP (s, t) とすると,
f(s,t) = 0 かつ g(s,t) ≠ 0 であるから, kf(s,t)+g(s,t) = 0 を満たすんは存在しない。
すなわち, 方程式 A が曲線 f(x, y) = 0 を表すことはない。
f(xi, yi) は
f(x,y) に x=xi,
y=y; を代入したと
きの値｡

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

Aの式kf+g=0は、kの値を1つ決めると
必ず「f=0とg=0の交点を通る曲線」になります
これはあなたが理解している通りです

たとえばk=-2にすれば、
Aの式は-2f+g=0という式になります
これはf=0とg=0の交点を通ります

しかし、kf+g=0において、kをいくつにしようとも、
この式が「f=0」になることはありません
つまり、Aの式kf+g=0は「f=0」を表せません

これがもう少し感覚的な説明です
これで一応納得できるならOK
腑に落ちないなら、その「補足1」がちゃんとした説明になっていますので、もう少しよく読んでください

ℎ

「kf+g=0において、kをいくつにしようとも、この式が「f=0」になることはありません。つまり、Aの式kf+g=0は「f=0」を表せません」とありますが、何故ですか？

和

実際にkに定数を入れてみて、
kf+g=0がf=0になるようなkを探してみてください
たった1つでも見つければあなたの勝ち、
見つからなかったら私の勝ち、てな感じです
これが感覚的な説明

腑に落ちないならその補足1を理解するしかないです

ℎ

g＝0だったらkがなんだったとしてもf＝0になれます！

和

kに値を入れる話なので…

f,gは与えられた曲線の式を入れるんですよ
kに何を入れようがgが残るのでf単独にならないよって話です

ℎ

そうなんですね！！丁寧にありがとうございました😊