Question

夢愛

解き方詳しく教えて欲しいです🙇‍♀️

[17]
【予習問題】
1, 11, 111, 1111 11111,
111...11
1n+1個
の (n+1) 個の環からなる数列を考える。 ただし, nは2の倍数でも5の倍数でもない
自然数とする。
(1)この数列の中に, その差がnで割り切れる2項の組み合せが存在することを示せ。
(2)この数列の中にの倍数となる項が存在することを示せ。

数列

Answer 1

✨ Best Answer ✨

GDO

(1)ある数字をnで割ると余りは0～n-1のどれかになる。
異なる(n+1)個の数をnで割ると余りは0～n-1(n種類)のどれかであるが、余りが同じになる数は少なくとも1組存在する（⇐これがポイント）。

余りが同じにる数(例えば、a、b(a>b))の差(a-b)を考えると、
a=i×n+余り(０～n-1)、b=j×n+余り(０～n-1)であるため、a-b=(i-j)×nとなり、a-bはnで割り切れる。

(2)a=11…11(1がa個)、b=1…11(1がb個)は、nで割ったとき余りが同じ数とする。
a-b=1…1×10ᵏ(1がa-b個、10のa-b乗)で表すことができる。
a-b=n×kであり、nは2,5の倍数ではない(10ᵏの倍数ではない)から、1…1(1がa-b個)はnの倍数である。
また、1…1(1がa-b個)は、(n+1)個の数列の中に存在する数である。

証明としては、少し言葉・説明が足りない部分はありますが、上記のようになります。
不明点ありましたらコメントください。

夢愛

ありがとうございます‼️