極限まで-1に近づけると分子は0分母は0となり、どちらが収束/発散する速度が強いか分からなく、(分母が強いならこの問題の場合無限、分子が強いなら0)。
けれど(x^2-x+1)に(x+1)/(x+1)をかけたと分かると
当然どんな極限まで飛ばそうが(x+1)/(x+1)は分子分母ともに同じ速度で発散/収束に向かうので定数となり、この問題の収束するか発散するかは(x^2-x+1)に委ねられるから。
例えば分子が定数の時分母の極限によって全体としての極限は決まりますよね1/xの極限はx→0の時(左右どっちの極限かによって正負の違いはあるけれどいずれにせよ)無限
x→∞のとき0
逆に分母が定数の時
例えばx/2の時はx→0の時は0,x→∞の時は無限
このことはx=1,2,3...てやっていけばわかると思います。
0や∞は力が強いことを頭に入れといてください。（例えばどんな大きな定数があっても0乗すると1になるし、0かければ0になる。どんな小さい定数でも∞をかければ∞になるしどんな定数でも∞で割れば0になる）
ちなみに極限値が∞/∞や0/0、∞-∞、∞×0、∞^0、0^∞、1^∞などとなるものは不定形と呼ばれます(どちらが早い段階で∞や0に近づくのか分からないので極限値がすぐには定まらない形をした式です)
※0×0や∞×∞は不定形ではありません。0×0=0、∞×∞=∞です、
では
分子と分母両方とも定数でない時は？となると
例えば極端な例を取り(2^x)/xのx→∞の時、2^xのx→∞は当然(指数関数のグラフより視覚的に)∞
xのx→∞は∞なのですが、ここで実験してみると
x=1の時はこの式は2/1=2です。x=2の時は2^2/2=2
ここまでは順調ですがx=3の時は8/3,これをどんどん繰り返していくと例えばx=100の時は(2^100なんて馬鹿でかい数(31桁？))/(100というゴミカスみたいな数)
で2^100を100で割っても馬鹿でかい数(29桁？)であることには変わらなく、
上の実験より無限への行き方が両者比べた時2^xの方が早い段階で近づくことが分かります。
x=100でこんなんなので
当然無限では
(馬鹿みたいにでかい数)/(分子と比べた時ゴミカスみたいな数)という無限への極限で同じ∞に発散する式どうしなのに発散しそうです。(実際発散するけど実験段階なのでまだしそうとしか言えません...)
よって同じ極限値∞を持つ式を分数式にすると実験をしてみると明らかですが∞への行き方がそれぞれの式によって違います。
この問題に変えるとx^3+1とx+1の話ですが
両方の-1への極限は0であり、極限だけを見ると0/0。よって不定形。
ですが上の∞のように0への行き方が違うので0/0で1なんて約分はできないし、
実験してみると
x=-0.9の時、x=-0.99の時とやっても検討はつきません。
それに一々実験するのは検討つけるには良いですが、めんどくさいし数学的には極限まで-1へ近づけるのは永遠にできるので実験だけで言うならば永遠に終わらないので(-0.9→-0.99→-0.999...)これを解消するには挟み撃ちの原理を使う。もしくは
例えばf(x)のA(無限でも定数でも可)への極限はα、FのAへの極限値はβとすると
極限の基本性質(全て極限はx→Aとします)
(i)f(x)=g(x)ならばgの極限値はα
(ii)kf(kは定数)の極限値はkα
(iii)f+Fの極限値はα+β
を使うしかないです
はさみうちの原理はある同じ極限を持つ式や値で挟み込む必要があるのですが式から見て明らかに挟み込めそうにないです。(式の値域に制限がある訳でもないので)
よって(x^3+1)/(x+1)の極限は別の式((i)のgみたいなの)の極限と同じことが言えれば良く、
(ii)の定数×(xの式)を目指します。
ここで、xの式の部分ですが極限が不定形であってはいたちごっこなので不定形にならないものを探す必要があります。
ではxの式の部分が(定数)/(xの式)や(xの式)/(定数)の式になれば一番最初の1/xなどの例のように極限値は分かります。
ここでは次数は分子の方がでかいので、(定数)/(xの式)は難しいので
(xの式)/定数を目指します。
定数の部分にはxの式があってはならないのでここでは(x^3+1)/(x+1)のx+1の式が消えて欲しい。手っ取り早く単純に約分できないか考えます。
するとx^3+1は(x+1)(x^2-x+1)と因数分解でき、約分できて、定数×(-1への極限が不定形にならないxの式)が出てくるので極限値が分かります。
結論は
代入してはいけないのは不定形になり実験してみると明らかですがなんの値に収束するのか、もしくは発散するのか分からないから。
因数分解するのはとりあえず約分して、不定形を抜け出すため。さらについでに-1への極限値がわかるxの式が作れちゃうから。
ちなみにこの答えの極限値は3
こんな説明でダメですかね...？
ダメならまたコメントしてくれれば極力頑張ります
めっちゃ長文になってごめんなさい
あと一つ言い忘れてましたが極限の世界では分母が0は許されます。
なぜなら極限の定義(ε-δ論法による極限の定義)が理解できたら当たり前なのですが
噛み砕くとその数ではないがその数にものすごく近い数の状態なので...
この問題の-1への極限は分母は0ではないが0にものすごくとても近い数(0.00...1)という状態であって0ではないので...
すごい頭いい方ですか、、？
頭は良くない方だと思いますけど...
暗記とか苦手だし...
むっ難しい、、、