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解決したみたいですが、参考程度に⋯
演習問題の流れを考えると、問題作成者は
f'(1)=0
f'(-1)=0
より連立方程式を解いてa,bを求める方法を想定していたように思えます
一方で、見た目で判断できる、というのはおそらく奇関数の性質を利用していると思います
気付いているかもしれませんが、実はこの問題では x=1 で極値をとろうがとるまいが原点対称の段階で a=0 が確定します。y=f(x)のグラフが原点対称ということはf(x)が奇関数ということであり、
f(x)=2x³+ax²+bx+c
が奇関数になるためには
a=c=0
にならざるを得ません。ちゃんと証明することもできますが、直感的にも納得できるのではないでしょうか
この考えを利用すれば、例えば
y=ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g
のグラフが原点対称ならば
a=c=e=g=0
あるいはy軸対称ならば
b=d=f=0
みたいなこともすぐわかったりします
あくまで推測ですが、原点に関して対称な3次関数のグラフは、極値をとるxの値の絶対値が同じになりますよね。
今回の問題であれば、極値をとるxの値は1と-1ですね。
この値は、f'(x)=0の異なる2つの実数解なので、2次方程式の2つの実数解が±ででるとき、その2次方程式がax^2+ c=0(bxにおいてb=0)の形になればよいです。(例 x^2-4=0 などは、解はx=±2)
ゆえに、xの係数であるaの値が0であることが言えるのではないでしょうか⁇
わかりやすい説明ありがとうございます！
納得出来ました
これはセンターのときにこういうような推測は慣れれば瞬時に思いつくもんですか？？
3次関数については、必ず変曲点に関して対称なので、グラフを描いて視覚的に処理するのは大切なことです。
例えば、極値をとるxの値や接線とグラフの他の共有点のx座標などは、すべてグラフを描いて処理できます。
しかし、俗に言う「慣れ」は、ただ解いてるだけでは身につかないので、グラフや図の性質や特徴をおさえることが必要になってきますね。
もしよければ、同じように問題を解いていて、何かうまいやり方がないか疑問に思ったときは、私の知る範囲でお伝えできればと思います。
なるほど、ありがとうございます！
また頼らせてください
助かります
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ありがとうございます！
塾の先生の言ってたことはこのことだった気がします
たしかに奇関数から判断できると言ってました
いまいち理解できずにいました
この場で知ることができてよかったです
本当にありがとうございます🙏