Question

欅

xの整式 P(x)=x^3+px^2+qx−(p+q+1)があり、P(x)をx−2で割ると余りがp+5である。ただし、p、qは実数である。
(1)qをpを用いて表せ。
(2)方程式P(x)=0が虚数解を持つとき、pの取り得る範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、方程式P(x)=0の異なる２つの虚数解をα、β、実数解をγとする。8/αβγ+2(α+β+γ)の最小値とその時のpの値を求めよ。

(3)が分かりません。教えてください。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

み

(1)は組立除法でも筆算でも何でもいいのであまりの式を出しましょう。そのあまりの式の中に多分qが入ってるのでその式=p+5で終わりです。
(2)はさっきの問題と同じで因数分解→判別式で終わります。とりあえずここまでしましょう。

欅

q=-2p-2
-5<p<-1
でしょうか？？
3番は解と係数の関係を使うのだと思いますが..式変形の仕方がわかりません。

み

三次方程式の解と係数との関係は使える前提で進めます。
解と係数との関係を使うと‪α‬,β,γの積と和がともにpの式で表せるます。相加・相乗平均の関係が使えれば使いたいですね。使えなかったらあまり良くないとは思いますが自分は微分しちゃいます。

欅

微分まだ習っていないので自分は使えないです...
相加平均、相乗平均ですか。あまりひらめかないところです。

み

(3)の式をpの式にした形載せることできますか？

欅

8分の-(p+1)-2p
です。

欅

これからどうすれば相加平均、相乗平均の関係が利用できる式に変形することができますか？

み

こんな感じですかね
あとは等号成立条件から計算すれば最小のときのpが出てきます。

み

文字があるやつで相加・相乗平均使いたい時は今回みたいに少しいじれば文字を消せることが多いです。というかほぼ確実に消えます。かけた時にうち消すように式をいじりましょう。2項がともに正である確認も怠らないようにしましょう。

み

最小値6,p=-3でしょうか。

欅

ありがとうございます！理解できました！

欅

かけた時に打ち消し合うように式変形するのがポイントですね！気付けるように頑張りたいです！