Question

成瀬

あるサイトの例題です。赤の部分は、マイナスの間違いでしょうか？
そうだとすれば、それ以降も符号が変わってしまうのですが……

群数列の例と問題

例題 (1) :1|3.5,7|9.11.13,15,17|19 …
上のように並んだ数を,一定のルールで区切った(第 1 群・第2群・・・)数列がある。

この時、第n群の初めの項を (nの式) で表せ。

【最重要】必ず求めておく2つの一般項
このあと紹介する『コツ2』で、"数列の和"を計算するために> (シグマ) を用いるので、暖昧な人は「シグマ記号の
意味と公式 : 数列の和」を先にCheckしておいてください。
"仕切り"を取り払った「全体の数列」(コツー)
コツのうちーつ目は、群に分けている 「仕切り」を取り払った時に出来る"数列の規則性"を確認します。

1|4.7110.13、、、の」を取ると『初項1、公差3の"等差"数列』になっている事がわかります。

 

このように、一般項を求める事が可能な場合は先に求めておきます。

 

 

一方で、「分数が並ぶ群数列」や「同じ数字が連続する」ようなタイプでは一般項を求める事が難しい場合があります

o

 

 

 

Im

 

 

 

 

そのような時でも、規則性をcheckしておく事で後の問題の重要なヒントになる『詳しくは 「群数列第二回 : その他の
法プラスw」で紹介しています。』ので、簡単にメモしておきましょう。

人 "各群"に含まれる「項の数の数列」 (コツニ)

との (コツニ) が"最重要points"です。各群の数の個数(項数)を調べて、その数列の一般項を求めておきます。

例題の解答

コツ(1 )、(2)の通りにやっていきます。

人 (コツ1)の一般項を求める

 

仕切り問題の数の列から、グループに分けている仕切り『|』をとると、1、3、5、7、、、、と"初項1、公差2の等差
数列"になっているので【全体の数列の一般項】 を42,とすると、g,ニ1十(7ー1) xX 2 よって、@, = 27 一 1。

人 (コツ2)の一般項を求める

次に各々の第氏群に何個の数字があるのかを考えると(コツ2)、第1群が1個、第2群が3個、と2個づつ増えていくので
、【"項数の数列"の"一般項"】 を4 として、4/ = 1十(パー1) 2=2ー 1。

(※この問題では2つの一般項が似たかたちになっていますが、いつもこうなる訳ではありません。)

人 n-1群の末項までの項数を求める

つぎに、間われているのが第n群の初項 (三第n-1群の未項十 1 項) であることから、まずrn-1群の最後の項までの『項
数』を4/ の総和から導きだします。 (添え字のnとNは別なことに注意 ! )

が

2y+」

ニテ1

(=この式で第 1 群が1項十第2群が3項二・・・十第n-1群が2n-1項をすべて足し合わしたことになります。)

(2一 1)7

カー1
2 2W+1 =2メーー

パテ1

ー⑦ーD

 

ニニカー2ヵ十 1。  worry 土]二1 = p 十 2が第n群の初項の項数になります。

全体の数列に代入する【完】

全体の数列の一般項は"(コツ 2 )"で求めているので、あとはg, = 27 一 iomey。 十 2を代入すれば題意の数が計
算できます。

よって、 22+2 三 27< ーー 47 十 3が(答)となります。

 検算を忘れずに!

群数列の問題では文字 (変数) が複雑になり、とくに計算ミスを起こしやすいので、答えの式に (第3群目くっらいまで
) を代入して、必ず 「検算」 しておきましょう。

ここでは、

n=1 :2一4十3=1
n=2 :8一8十3=3
n=3 :18一12十3=9

それぞれ、問題 1 の数列と一致します。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ケスト

Σ(N=1→n-1)2N-1
=n(n-1)-(n-1)=n²-2n+1
(n²-2n+1)+1=n²-2n+2
2(n²-2n+2)-1=2n²-4n+3

誤植が多いですね

成瀬

分かりました。ありがとうございます！！！