例題隣接3項間の漸化式
21 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a1=1, a2=5, an+2-7an+1+12an=0
解答 An+2-7an+1+12an=0 を変形すると
☆★★★★
一下記の参考 参照。
Gan+2-3an+1=4(an+1-3an), an+2-4an+1=3(an+1-4an) ......
②
①より、 数列{an+1-3an は公比 4, 初項 α2-3a1=5-3・1=2の等比数列で
an+1-3an=2・4n-1
あるから
③
②より, 数列{an+1-4an} は公比 3, 初項 α2-4α」=5-4・1=1 の等比数列で
あるから
③ ④ から
an+1-4an=3n-1
a=2.4-1-3-1
......
④
合繊 to
[参考] 漸化式 pan+2+gan+1+ran=0 (60) について, a n は以下の方法で求められる。
漸化式の an+2, An+1, an をそれぞれx2, x, 1でおき換えた2次方程式
px2+gx+r=0 の解をα β とする。
[1] α = β の場合
an+2-aan+1=B (an+1-αan)
an+2-Ban+1=α(an+1-Ban)
{an+1-αan} は公比βの等比数列
...{an+1-Ban} は公比αの等比数列
と変形する。上の例題では, 2次方程式 x2-7x+12=0 の解がx=3, 4
であるから, 1, ②のように変形できる。
[2] α=β(重解) の場合
an+2-dan+1=a(an+1-dan)
......{an+1-αan} は公比αの等比数列
と変形する。 これより
an+1-aan=(a2-aai) an-1
この両辺をα+1で割る。(例題18の解答を参照)
[3] 特に, α, βの一方が1 (このとき, p+g+r=0) の場合, 階差数列
{anti-an} が等比数列になる。
