２番で黄色丸で囲んでいるとこで境界を含まないということは４ぶんの3√2よりも小さいという発想になってしまいます、なぜ＝がつくのでしょうか

10 10 練習 1.1 (1) 不等式 231014 y2+xy+y-2x²-x < 0 の表す領域を座標平面に図示せよ. (2) 正の定数とする. 次で定められる円 x² - 2x + y²+y+ 5/4 - r² = 0 角公式 の内部が (1) で求めた領域に含まれるようなrの値の範囲を求めよ.

2枚目の印つけたところが必要な理由がわかりません、 教えてください。

55 つ確率は 練習 AチームとBチームがサッカーの試合を5回行う。 どの試合でも, Aチームが勝 H Bチームが勝つ確率は1/1引き分けとなる確率はである。 (1) Aチームの試合結果が2勝2敗1引き分けとなる確率を求めよ。 (1) (2) 両チームの勝ち数が同じになる確率を求めよ。 さ

2の5乗から2を引くのは何故ですか？

練習 5人がじゃんけんを1回するとき,次の確率を求めよ。 40 (1) 1人だけが勝つ確率 (3) あいこになる確率 (2)2人が勝つ確率 p.4

高一　数一　集合 PとQについて常に成り立つことを全て選べ 答えは3 5 8です どうやってかんがえますか

□28 全体集合をひとし,条件pg を満たすもの全体の集合を,それぞれP, Qとする。命題♭⇒ q が真であるとき,P,Qについて常に成り立つこ とをすべて選べ。 ①P=Q ② QCP ③ QCP ④ PCQ ⑤ PUQ=P ⑥ PUQ=Q ⑦pnQ=Ø ⑦ PnQ=Ø ⑧ PUQ=U

高一　数一　集合 関係を正しく表しているものを全て選べ 答えは1 3 4 です 2から5についている中括弧にはどんな意味がありますか

□ 27 自然数全体の集合 Uを全体集合とし,集合Aは集合 Uの部分集合とす る。 4のみを要素にもつ集合が集合Aの部分集合であるとき, 次の中から 成り立つ関係を正しく表現しているものをすべて選べ。 (1) ① 4EA ② {4}∈A③_{4}CA ④ {4}UA=A ⑤ {4}nA=Ø

(2)の下から2行目のそれらは全て二つの正6角形が共有しているという部分がわかりません。 問題の図を見ると、二つではなくて一つに見えます。 図を描いて教えていただきたいです。

例題 302 多面体 サッカーボールは右の図のような正五角形と正六角形か らなるへこみの無い多面体で,どの頂点にも1個の正五 角形と2個の正六角形が集まっており,また,どの正五 角形にも5個の正六角形が接し, どの正六角形にも3個 ずつの正五角形と正六角形が接している。 この多面体の 正五角形の数を x, 正六角形の数をyとするとき, 次の問に答えよ。 (1) この多面体の頂点の数をx を用いて表せ。 また, v を y を用いて表 (2)この多面体の面の数fと辺の数e を x,yを用いて表せ。 (3)x,yの値を求めよ。 思考プロセス 部分に分ける 多面体の の面での)×(面の数)÷ 頂点の数 頂点の数 1つの頂点が他の面で 重複して数えられた回数 辺の数も同様に考える。 頂点,辺,面の数のうち2つが分かったときは, オイラーの多面体定理を利用する。 地球に2人 Action》 多面体の頂点 (v), 辺 (e), 面 (f) の数は, v-eff = 2 を用いよ (1) 1つの正五角形につき5個の頂点があり,他の正五角 形と共有していない。 この多面体のすべての頂点は,正 五角形の頂点の1つであるから = 5.x ... 1 1つの正六角形につき6個の頂点があり,この多面体の すべての頂点は、2つの正六角形が共有している。 その方で pir よって = =6y÷2=3y ... ・② (2)この多面体の面は, 正五角形と正六角形だけからなる。 よって = jf = x +y .... ③ 5月 正五角形の5個の辺は、他の正五角形と共有しておらず, (もし隣合っていた 正五角形はx個あ 6yは1つの頂点 ずつ数えている。 2コ 正六角形の6個の辺のうち正五角形と共有しないものは 六 3個ずつあり、それらはすべて2つの正六角形が共有し 15x個 (3y÷2) 個 ている。 よって e= :5x+ 3 23' (2)

円順列はわかるのですが 確率になった途端しかもおんなじもの含んでたら全く何言ってるかわかりません

てもいっしょ Campus 2 EX 順の総数としては、 3(白国会 EX @33 である。 第2章 確率 251 赤玉2個, 白玉2個を円周上に並べるとき、 同じ色の玉が隣り合わない確率はである。 また、赤玉2個, 白玉2個, 青玉2個を円周上に並べるとき、 同じ色の玉が隣り合わない確率は HINT] 赤玉1個を固定して考える。 確率では,同じ色の玉は異なるもの (区別がつく) と考える。 赤玉をR1, R2, 白玉を W1, W2 とする。 (ア) 赤玉2個, 白玉2個を円周上に並べる方法は,全部で (4-1)!=3!=6(通り) 右の図の○の位置に白玉を入れればよいか ・Ri ら、その並べ方の総数は なんでこれする? 2!=2 (通り) 2 1 よって、求める確率は R2 6 3 【昭和女子大] R を固定して円順列。 (イ)赤玉2個, 白玉2個, 青玉2個を円周上に並べる方法は, 全部で (6-1)!=5!=120 (通り) [1] 青玉2個を除いたものが, (ア)の形の場合 右の図の○の位置に青玉を 入れればよいから,その並 べ方の総数は 出 4P2×2=24 (通り) W2 OR.-Q. W₂ 白玉の入れ方は2通り。 WiWi ORO RO [2] 青玉2個を除いたものが, (ア) 以外の形の場合 W₂ W1 W₁ 赤玉の入れ方それぞれ CR, R₂ -W2 に対し、白玉の入れ方は 2通り。 上の図の○の位置に青玉を入れればよいから,その並べ 方の総数は 2! ×4=8 (通り) [1],[2]から同じ色の玉が隣り合わない場合の数は 24+8=32 (通り) 32 4 よって、求める確率は 120 15 EX 34 (1) 2枚のカードを同時に取り出すとき,取り出した2枚のカードの整数の和が3の倍数にな 1から20までの整数が1つずつ書かれた20枚のカードがある。 ある確率を求めよ。 とき 取り出した17枚のカードの整数の和が3の倍数にな [鳥取大] 20

(1)って、コレが否定ではないんですか？😢 なぜ、解答のようになるのでしょうか？

重要例題 26 命題⇒gの否定 次の命題の否定を述べよ。 (1)xが実数のとき,x21ならばx≠1である。 (2) x, yが実数のとき, x+y>2ならばx>1 または y>1である。 (3) すべての正の数xに対してx+a>0ならば, a≧0 である。 指針 例えば, (1) は x21 を満たす すべての実数xについて, x=1である ということを意味するから,「すべて」 を 「ある」に替えて,結論を否定すればよい。 一般に,命題⇒ gの否定は であってgでないものがある ① である。したがって,(1)の否定は,解答のように述べることができる。 (3)は「すべて」とあるが, 仮定も結論もαに関する条件であって すべての正の数xに対してx+a>0を満たす すべてのαについて, a≧0 である ということを意味しているから, その否定を, 次のようにしては誤りで ある。 「ある正の数xに対してx+α>0 ならば, a<0である」 コンマ 「,」に注意して, 仮定と結論をはっきりつかみ, ①に当てはめて 考える。 解答 (1)x2>1であってx=1である実数xがある。 (2)x+y>2 であってx≦1 かつ≦1である実数x, yが「かつ」と「または」が入 ある (3) 「すべての正の数xに対してx+α>0」 を 「a≧0」 れ替わる。 をg とする。 求める否定は であって」でないものがある」 で 「すべての正の数xに対してx+α>0であって, α < 0 となることがある。」 gの否定とは違うことに注意が必要である。 の否定は、次のことを意味している。 73

(2)を教えてください。 なぜ( 1/k+1を右辺に足したもの>1/k+1を代入したもの )が≧に変形できるのでしょうか

216 第7章数 列 基礎問 138 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ。 (1) 1+2+...+n²=n(n+1)(2n+1)...... (2)1+2/+/1/2 2n +・・・+ 3 n u (2) i) n=1のとき 217 1+1 +...+ +1/+1/3+ 2 1 2k "k+1 左辺 = 1, 右辺 ==1となり, n=1のとき②は成立する。 in=k のとき,② が成立すると仮定すると + 左辺 =1+ 2k 右辺 = k+1 2 3 を加えると 左辺を証明したい式 1 +.. 1 にする 1 2k+1 精講 手順は 137 と同じですが, n=kのときの式から, n=k+1のとき この式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 (1) i) n=1のとき 解答 左辺 =1,右辺 = 1/12・1・2・3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する。 i) n=k のとき 12+22 +... +k2= = k(k+1)(2k+1)....... が成立すると仮定する. ①の両辺に (k+1)2 を加えて 左辺 =12+22+..+k^2+(k+1)2 右辺 =- =1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 =(k+1){(2k²+k)+6(k+1)} =(k+1)(k+2)(2k+3) 左辺に, 1+2+... +k²+(k+1)^ を作ることを考える これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって、 ①は n=k+1 でも成立する. i), i)より,①はすべての自然数nについて成立する。 ここで, + k+1 k+1 k+1 2k+1_2(k+1) k k+1 k+2 = (k+1)(k+2)>0 1 pk+12(k+1) 1 1+ +・・・+ 2 k+1 すなわち 1 1+++ 2 2(k+1) k+1 k+2 よって, n=k+1 でも②は成立する ◆ここがポイント k+2 これは,②n=k+1 を代入したものである。 iii)より,すべての自然数nについて ② は成立する。 数学的帰納法を使って証明するとき, n=kのときを 仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお 2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき 作業を決める ポイント 演習問題 138 nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を用 いて証明せよ. 1 1 (1) 1 n + +…+ 1-2 2.3 n(n+1) n+1 (2) 1 11 + 22 32 n n

自力で解けたのは(1)だけで(2)は理解できるのですが、(3)がわかりません。

208 第7章 数 基礎問 134 漸化式の応用 本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面が an個 平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3 の部分に分けられるとする. (1) 1, 2, as を求めよ. (2) n本の直線が引いてあり, あらたに (n+1) 本目の直線を引 いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか. (3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ. (4) am を求めよ. 精講 まず、設問の意味を正しくとらえないといけません.nが含まれて いるとわかりにくいので,nに具体的な数字を代入してイメージを つかむことが大切で,これが(1)です. (3)が最大のテーマです.「an+1をan で表せ」という要求のときに, 41, 0 as などから様子を探るのも1つの手ですが、それは137以降 (数学的帰納法)に まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか を学習します。 an と an+1 の違いは直線の本数が1本増えることです. 直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが、問題 はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります. 線と n の半直 (4) ① 1本 よ (1) (a1) 解答 (a2) 4 2 (a3) 図より, α=2 図より、 a2=4 図より, α3=7 (2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら ないので, (n+1) 本目の直線は, それ以前に引いてある本の直線の すべてと1回ずつ交わっている。よって,n か所で交わる. 演習