練習 110 x についての2次方程式 x2 +2ax-a+12=0の解がすべて-4<x<5の範囲に存在する
f(x)=x2+2ax-a +12 とおく。
方程式 f(x) = 0 が -4<x<5 の範囲にすべ
ての解をもつための条件は,y=f(x)のグラフ
4<x<5の範囲でx軸とすべての共有点
をもつことである。
よって、次の [1]~[3] がすべて成り立つ。
[1] x軸と共有点をもつから f(x)=0 の判別
式をDとすると
D≧0
|0|-
5
x
22=a-(a+12)=a+a-12
4
よって, ata-12≧0 より
(a+4) (a-3)≧0
ゆえに a-4, 3 a
.. 1
[2] y=f(x)の軸が-4<x< 5 の部分にある。
y=f(x) の軸は直線 x = -αであるから
よって
-5<a<4 ... 2
[3] f(-4)>0 かつ f (5) > 0 となる。
-4 < -a <5
28
f(-4)=-9α +28> 0 より
a<
3
9
37
f(5) = 9α+37 > 0 より a>
... 4
9
①~④より、求めるαの値の範囲は
37
28
<a ≦-4,3≦a<
9
9
9
-5 37
9
28
4
-43
9
頂点のy座標について
f(-a) = -a-a+12 ≦ 0
としてもよい。
