以下の問いに答えよ。ただし,logは自然対数,eはその底とする。
(1)bを実数とする。
関数f(x)＝∮(x→b)e^(−t^2/2)dt−xe^(−x^2/2)/(x^2+1)は単調に減少することを示せ。
(2)a≦bを満たす正の実数a,bに対し,不等式
ae^(−a^2/2)/(a^2+1)−be^(−b^2/2)/(b^2+1)
≦∮(a→b)e^(−t^2/2)dt≦e^(−a^2/2)(b−a)
が成り立つことを示せ。
(3)数列{In}を次のように定める。In＝∮(1→2)e^(−nt^2/2)dt
(n＝1,2,3...)
このとき,極限llm(n→∞)(1/n)logInを求めよ。
ただし,lim(n→∞)(1/n)log(n +1)＝0を用いてもよい。
(大阪大)